Föreställ dig en farkost byggd i rymden, utanför jordens gravitationsfält. Syftet med farkosten är att företa en resa till någon närbelägen stjärna, exempelvis Alfa Centauri på 4.37 ljusårs avstånd, för att se om systemet härbärgerar någon planet lämplig för mänsklig kolonisation.
Frågan är då vilka fysikaliska begränsningar som finns för en sådan resa, med avseende på restid, farkostens vikt, erforderlig bränslemängd, maximal hastighet som kan uppnås med mera. Man kan i förstone tänka sig konventionella drivmedel för raketer, i ett accelererat förlopp utan att ta hänsyn till inbromsning vid ankomsten.
Man kan här för enkelhetens skull också tänka sig att vår farkost finns i en gravitationsfri lagrangepunkt i jord–solsystemet, och att den vidare färden sker utan gravitationell påverkan. I verkligheten skulle man behöva lämna solsystemet för att få ett friktionsfritt förlopp, och i själva verket skulle man förstås nyttja solsystemet som en slunga för att få gratisskjuts. Det är perturbationer som dock inte är relevanta för vårt tankeexperiment.
Vårt system består således av en massa m(t), som omfattar såväl fordonet som dess bränsle, och som varierar med tiden allteftersom vi förbränner bränslet. Newtons andra lag ger en acceleration a = dv/dt = -F/m(t) = -Rve/m(t), där R betecknar ett konstant massflöde av nyttjat bränsle (kg/s) och ve är utsläppshastigheten av sagda bränsle (m/s).
Om vi betecknar den ursprungliga massan för systemet m₀ och den slutliga massan efter att ha accelererat till marschfart mf under tiden ∆T, kan det konstanta avgasflödet skrivas R = (m₀ – mf)/∆T, som i detta konstanta förhållande är det samma som differentialen dm/dt. Termen dv/dt integrerar vi sålunda för att erhålla den uppnådda hastigheten: ∆v = ∫dv/dt = -ve·∫1/m(t) dm/dt = [ln m] för intervallet [m₀, mf].
∆v = ve·ln(m₀ / mf) är raketekvationen, och den bestämmer helt och hållet de fysikaliska villkoren för vår resa. Eftersom det är en resa med människor ombord kan vi tänka oss en bekväm acceleration om a = 1g = 9.8 m/s² för att simulera jordens gravitation. Kalkylen här är a = dv/dt = g, som ger hastigheten v(t) = ∫g dt = gt, samt distansen d(t) = ∫g dt = ½gt². Vilken hastighet vill vi nå?
Eftersom resan är 4.37 ljusår vill vi komma fram inom mänsklig livslängd. Med tio procent av ljushastigheten skulle det ta 43.7 år att företa resan, plus lite extra tid för acceleration och inbromsning. Med v = 0.1c = 3·10⁷ m/s får vi t = v/g = 35 dygn, en försumbar tid. Även relativistiska effekter är marginella.
Med ∆v = 0.1c kan vi även se vad det innebär för massförhållandena mellan farkost och bränsle, nämligen enligt ∆v = 0.1c = ve·ln(m₀ / mf). Termen ve beror av teknik och bränsletyp, men i vårt antagande om konventionell drift med flytande syre och väte har vi ve ≈ 4 400 m/s.
Det ger ∆v / ve = ln(m₀ / mf), eller m₀ = mf··e∆v / ve. Om vi antar en ultraslimmad modul om mf = 20 000 kg omfattande ett par individer och all utrustning som krävs för att driva farkosten och upprätthålla ett ekosystem under drygt fyrtio års tid, har vi med siffror att det totala initiala massystemet är m₀ ≈ 20000·e6818 = 2·10⁴·102961 = 2·102965 kg. Som en jämförelse är det observerbara universums massa 1053 kg.
Om vi istället skulle nöja oss med en mer modest hastighet om 11 190 m/s, eller jordens flykthastighet, hade det räckt med 254 ton bränsle, eller 12.7 gånger modulens vikt, men då hade det å andra sidan tagit 117 000 år att tillryggalägga sagda sträcka.
Av detta förstår vi att interstellära resor inte är praktiskt möjliga med konventionell teknik, och det finns heller ingen möjlighet att eliminera raketekvationen. Den sätter en gräns för det möjliga, och kräver exponentiellt större mängder bränsle för högre hastigheter. Det är av den anledningen traditionell rymdfart inom solsystemet bedrivs med hjälp av gravitationella slungor, för att det annars skulle krävas så mycket mer bränsle.
Även om man kan spekulera i hypotetiska «fotonraketer» och andra slags konstruktioner för att överkomma raketekvationens barriärer, förblir det en formidabel utmaning att skicka farkoster mellan närbelägna stjärnor, och i praktiken omöjligt att bedriva längre äventyr i galaxen, i vart fall bemannade sådana. Raketekvationen är en fysikalisk gräns, inte en teknisk.
Härav följer också att det aldrig någonsin kommer att finnas något «moderskepp» redo att företa en invasion av jorden, och knappast heller någon mindre farkost i syfte att observera oss. Det senare skulle förutsätta en närbelägen civilisation, vilket i sig är en osannolik hypotes. Fysiken och oddsen är alltså inte på ufologernas sida.