Småskolans aritmetiska övningar brukar ge barnen en del huvudbry när division introduceras, nämligen för att man får veta att man inte kan «dela med noll». Även vuxna har en del kognitiva hinder att förstå den utsagan, kanske mest för att man har lärt sig enkla mekaniska regler snarare än mer formella definitioner.
Om vi för ett ögonblick rekapitulerar den allra första klassens aritmetik i form av addition (+) över mängden av de naturliga talen ℕ = {1, 2, 3…}, har vi här magman eller gruppoiden (ℕ, +), en algebraisk struktur 𝑀 = {∀a, b ∈ ℕ: a + b ∈ ℕ}. En magma är således en mängd (här ℕ) med en binär operator (här +) sådan att mängden är sluten under operationen.
Det är vidare en semigrupp, då den binära operationen addition är associativ: ∀a, b, c ∈ ℕ: (a + b) + c = a + (b + c), samt därtill en abelsk semigrupp, då operationen är kommutativ: ∀a, b ∈ ℕ: a + b = b + a.
Härav följer att även (ℕ, ·), det vill säga mängden av naturliga tal under den binära operationen multiplikation, är en magma respektive abelsk semigrupp, eftersom varje naturligt tal multiplicerat med ett annat naturligt tal också är ett naturligt tal. Däremot kan man inte subtrahera alla naturliga tal under slutenhet, utan kan då hamna utanför den givna mängden. Exempelvis är 3 – 7 = -4 ∉ ℕ.
För subtraktion måste man således vidga mängden ℕ till mängden av alla heltal ℤ = {… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}, där vi även definierar det neutrala elementet eller identitetselementet noll (0): ∀a ∈ ℤ: ∃0 ∈ ℤ: a + 0 = a. Eftersom det är en abelsk semigrupp följer omedelbart att även 0 + a = a.
Strukturen (ℤ, 0, +) är en monoid, det vill säga en semigrupp med en associativ binär operator och ett identitetselement 0. På samma sätt är strukturen (ℤ, 1, ·) under multiplikation en kommutativ monoid med identitetselement 1: ∀a ∈ ℤ: ∃1 ∈ ℤ: a · 1 = 1 · a = a.
I själva verket är (ℤ, 0, +) en grupp, då varje element i mängden har en additiv invers: ∀a ∈ ℤ: ∃b ∈ ℤ: a + b = 0. Det inversa elementet b betecknas här -a, eller mer generellt a-1. En grupp är således en mängd med en binär operator under gruppaxiomen om associativitet, identitetselement och inverst element.
Däremot är (ℤ, 1, ·) inte en grupp, då mängden saknar inversa element för samtliga ingående element utöver 1. För exempelvis 4 ∈ ℤ finns inget inverst element b sådant att 4·b = 1, eftersom ¼ ∉ ℤ. För division behöver vi därför vidga strukturen ytterligare.
Mängden av alla rationella tal ℚ = {a ∈ ℤ, b ∈ ℤ\{0}: a / b} av fraktioner av heltal a och b sådana att b ≠ 0 ger här en mängd som är sluten även under division, med undantag för det additiva enhetselementet noll. Det ligger således i själva definitionen av strukturen att division med noll inte är möjlig.
Strukturen (ℚ, 0, +) är alltjämt en grupp, men det är däremot inte (ℚ, 1, ·), eftersom elementet noll saknar multiplikativ invers. Däremot bildar mängden ℚ\{0} = {q ∈ ℚ, q ≠ 0} under multiplikation en grupp, eftersom inga tal q, r ∈ ℚ\{0} ger noll som produkt vid multiplikation. Slutenheten är därför garanterad.
Mängden ℚ av rationella tal under de båda binära operationerna addition och multiplikation bildar vidare en (kommutativ) ring 𝘙 = (ℚ, 0, 1, +, ·), en algebraisk struktur som kombinerar den abelska gruppen (ℚ, 0, +) och semigruppen (ℚ, 1, ·) under distributivitet: ∀a, b, c ∈ ℚ: a · (b + c) = a · b + a · c. Strukturen saknar en multiplikativ invers, det vill säga att division inte är definierad.
Ringen 𝘙 = (ℚ, 0, 1, +, ·) tillsammans med en multiplikativ invers bildar istället en kropp 𝘒 = (ℚ, 0, 1, +, ·), sammanfattad i följande egenskaper:
- associativitet: a + (b + c) = (a + b) + c samt a · (b · c) = (a · b) · c
- kommutativitet: a + b = b + a samt a · b = b · a
- additiv identitet: ∀a ∈ ℚ: ∃0 ∈ ℚ: a + 0 = a
- multiplikativ identitet: ∀a ∈ ℚ: ∃1 ∈ ℚ: a · 1 = a
- additiv invers: ∃a, -a ∈ ℚ: a + (-a) = 0
- multiplikativ invers: ∃a, a-1 ∈ ℚ: a · a-1 = 1, a ≠ 0
- distributivitet: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
(ℚ, 0, 1, +, ·) är en primkropp, det vill säga en kropp som saknar en mindre delkropp. Det är väsentligen den struktur som definierar grundskolans aritmetik. Den större mängden av reella tal ℝ kompletterar småningom ℚ med alla irrationella tal som inte kan uttryckas som en fraktion a / b, till exempel π, √3 och e. I högre utbildning tillkommer även mängden av komplexa tal ℂ = {a, b ∈ ℝ: a + bi, i² = -1} och andra divisionsalgebror.
Division är här definierad som den multiplikativa inversen snarare än som en egen operation. På samma sätt är subtraktion definierad som den additiva inversen. Per definition är division med noll därför utesluten, nämligen för att noll saknar multiplikativ invers.
Antag nämligen att det existerar en multiplikativ invers 0-1 = 1/0 ∈ ℚ. För varje multiplikativ invers x ∈ ℚ gäller enligt kroppsaxiomen ovan att x · x-1 = 1, och således att 0 · 0-1 = 0 / 0 = 1. Antag nu att det finns ett tal x / 0 = y, varvid x = 0 · y = 0. Den sista relationen gäller för alla y ∈ ℚ, varvid x / 0 blir obestämt. Det är en orimlighet.
Men ponera att vi har mängden ℤ/1ℤ = {0}, det vill säga den triviala mängden (modulo 1). Kroppen 𝘒 = (ℤ/1ℤ, 0, +, ·) har då både additiv och multiplikativ identitet 0. Vi har nämligen ∀a ∈ 𝘒: a = a · 1 = a · 0 = 0, det vill säga 0 = 1. Därmed existerar en multiplikativ invers av 0 i ℤ/1ℤ, och division med 0 är här möjlig: 1 / 0 = 0 / 0 = 1 = 0.
Man kan också definiera ett hjul 𝐻 = (ℍ, 0, 1, +, ·, /) för någon mängd ℍ, där (ℍ, 0, +) är en kommutativ monoid och (ℍ, 1, ·, /) en kommutativ monoid med en unär involutionsoperator /. En involution är en funktion som är sin egen invers, det vill säga f-1(x) = f(x). Speciellt är involutionen / här en operator sådan att //x = x och /(xy) = yx.
För ett hjul har vi vidare följande axiom:
- distributivitet: (x + y)z + 0z = xz + yz samt x/y + z + 0y = (x + yz)/y
- 0 · 0 = 0
- (x + 0y)z = xz + 0y
- /(x + 0y) = /x + 0y
- x + 0/0 = 0/0
Exempel på hjul är det så kallade triviala hjulet för den triviala mängden {0} ovan; kroppsutvidgningen ℚ\{/0, 0/0}, samt = {0, 1, /0, 0/0} i mängden ℤ\2ℤ av heltal modulo 2.
Ett hjul är således en naturlig utvidgning av en ring, under medgivande av generell division, även med 0. Division är här inte den sedvanliga binära operationen, utan en multiplikativ operation med den unära involutionsoperatorn /: a/b betecknar a · /b. I allmänhet gäller inte att x / x = 1, och inte heller att x – x = 0. Men om 0 · x = 0 samt 0 / x = 0 för något x, så gäller de gängse identiteterna. Några egenskaper:
- /1 = 1
- 0x + 0y = 0xy
- (0/0)x = 0/0
- x/x = 1 + 0x/x
- xz = yz ⇒ x + 0z/z = y + 0z/z
Termerna 0/0 respektive 1/0 kan även betecknas ⊥ eller ∞, varvid räknereglerna blir mer begripliga, exempelvis x + 0/0 = 0/0 ⇔ x + ∞ = ∞, eller (0/0)x = 0/0 ⇔ ∞ · x = ∞, det vill säga obestämda kvantiter. Härav följer även att multiplikation och addition med 0 är obestämt (i allmänhet), vilket ger sådant som 0x + 0y = 0xy.
Frågan huruvida man kan dela med noll beror således på vilken mängd som avses, och i vilken algebra divisionen sker, samt vad man menar med noll. Det är en definitionsfråga mer än en teknikalitet, även om de gamla egyptierna och grekerna inte förmådde abstrahera problemet sålunda.
Har barnen månne frågor på detta?