Kategori: Matematik

Kategorier
Kultur Matematik Politik Språk

Skolfärs med hackade betyg

Ekonomistudenter kan inte räkna, dundrar några företrädare för ekonomiutbildningar på en debattsida i kommerspressen, med underförstådd ansats av att äska ytterligare bidrag för att kompensera för bristen. Men dels är det knappast någon nyhet att sådana brister föreligger bland högskolestuderande, och dels angriper man fel problem.

I själva verket har förkunskaper i matematik sjunkit stadigt sedan 1960-talet, och förmodligen tidigare än så, enligt de diagnostiska prov som tekniska högskolor ger varje år till nyantagna studerande. Som konsekvens anordnas även en «repetitionskurs» i gymnasiets matematik.

Men för dessa ekonomistuderande är situationen mer prekär än så, eftersom man inte ens behärskar grundskolans (!) aritmetik. Man uppges ha problem med att avrunda eller omvandla decimaltal till motsvarande procentsats, brister som nog inte kan avhjälpas med en förberedande kurs. Krasst uttryckt har dessa personer inte i den högre utbildningen att göra.

Brister föreligger inte heller bara i matematik, utan även i svenska språket. Det visar sig att högskolestudenter ofta har problem att uttrycka sig på grammatiskt korrekt svenska, ett problem som numera även omfattar lärarkåren (!), som ett elementärt resultat av att sådana brister fortplantas och successivt urholkar akademin. Detta samtidigt som nyanalfabetism breder ut sig i landet, inte minst till följd av invandring.

Inte nog med det, studerande i nyare generationer förmår inte heller läsa böcker, eftersom man aldrig har tränats i färdigheten. Som ett resultat klarar man inte av att ta in längre texter, utan överbelastas när textmassan överskrider 140 tecken eller så. Detta är uppenbarligen till men för den som vill läsa digra luntor med tung akademisk text.

Förfallet i utbildningen, på alla nivåer, är alltså massivt. Men eftersom «alla ska med» är den folkpartistiska lösningen att helt enkelt ta bort betyget F, eftersom underkänt i något visst betyg utgör ett effektivt hinder för någon att läsa vidare. Det gäller naturligtvis särskilt svenska och matematik, kunskaper förutan vilka man nog bör satsa på någon mer praktisk karriär.

Här noterar man emellertid högre risk för arbetslöshet, självmord, kriminalitet och andra negativa konsekvenser av underkända betyg, varför man istället avser avveckla nuvarande beygsskala och ersätta den med en tiogradig variant. Medelbetyget ska därmed ges större vikt än betyg i enskilda ämnen, med given konsekvens att ekonomi- och andra studenter kommer fortsätta att sakna verkligt grundläggande behörighet.

I praktiken blir betygen meningslösa, och den meritokrati som aldrig riktigt har funnits i Sverige utraderas fullständigt. Det är ett resultat av att klåfingriga folkpartister och andra ständigt och jämt pillar i betygssystem och andra företeelser i skolan, istället för att ge långvarigt stabila förutsättningar.

Annodazumal (1800-talet) förelåg en betygsskala A, B, C, D, men den befanns sedermera vara otillräcklig, varför en mer fingradig variant A, a, AB, Ba, BC, C infördes, inte sällan med än mer finkornig variation medelst +, – och ?. Under 1960-talet etablerades istället en sifferskala 1–5, som på objektiva grunder kan sägas vara den mest praktiska, dels för att man enkelt kan ta fram ett medelbetyg, och dels för att en finare indelning är meningslös. Sifferskalan var dock relativ, vilket inte fungerar på högskolan där man inte har ett slumpmässigt urval (man har motiverade studenter) och därför inte heller normalfördelning.

Men prussiluskorna i Folkpartiet gav sig inte, utan insisterade på ännu en intetsägande betygsreform, vilket under 1990-talet gav skalan MVG, VG, G och IG, i vart fall på gymnasiet. I grundskolan nyttjades dock inte IG, eftersom «alla ska med» utan krav. Brister vidmakthålls och fortplantas därmed upp i högre årskurser, tydligen ända in i högskolan.

Under halvannat decennium har nu gällt skalan A–F, vilket så att säga sluter cirkeln och återtar 1800-talets bokstavsskala. Det råkar också vara en variant av den europeiska ECTS-skalan, som naturligtvis borde utgöra standard i hela unionen under tusen år – inte för att den är bäst, utan för att det just är en standard. Det enda som ständiga förändringar i betygssystem samt förekomst av lokala system renderar är enorma matriser där olika skalor översätts i varandra med varierande grad av precision.

Meritokratin måste således återupprättas, med successiv skärpning ju högre upp i utbildningen man kommer. Låt gå för att grundskolan kan ha visst spelrum, men behörighet till högskolan måste överensstämma med verkligheten. Den som inte behärskar matematik och svenska – med flera ämnen – på den nivå som krävs ska inte släppas över tröskeln.

Den som saknar förutsättningar måste istället erbjudas andra karriärvägar, och praktiska yrken måste således uppvärderas på alla tänkbara vis. Inte alla kan eller bör gå den akademiska vägen, och det är inte givet att en sådan ger bäst ekonomiskt utfall – ofta är så faktiskt inte fallet, utan det är som allt annat än fråga om efterfrågan och tillgång på marknaden.

Ständigt klåfingrigt pillande i betygssystem och andra meningslösa «reformer» har fullständigt förstört meritokratin och raserat grunderna för utbildningen.
Kategorier
Asien Europa Kultur Matematik Politik

Sverige matematikens U-land

En morbid hobby jag har är att titta på videor om matematik på tuben, för rent nöjes skull. Svårare integraler och differentialekvationer varvas med sinnrika lösningar av algebraiska ekvationer och mer abstrakt matematik, och man får en bra kick av att själv kunna lösa problemen innan de presenteras.

Samma rus kunde jag emellanåt uppleva i studier i gymnasiet och på högskola, trots att jag egentligen hasade mig fram i gymnasiet fram till tredje årskursen. Det var då faktiskt inga som helst problem att läsa in tidigare stoff när intresset och motivationen väl fanns på plats.

Av det kan man dra vissa slutsatser, bland annat att Sveriges problem med kontinuerligt sämre kunskaper i matematik bland elever och befolkningen i stort nog inte bottnar i bristfälliga läroböcker eller andra teknikaliteter, så som hävdas i debatten. Det har nämligen aldrig funnits så goda möjligheter som nu att finna studiematerial och pedagogisk expertis vid sidan av skolundervisningen, och en kass lärare eller bok kan enkelt ersättas av eller kompletteras med en uppsjö av videoresurser, en veritabel guldgruva som fordom helt enkelt inte fanns.

Man kan jämföra med förhållandevis bättre kunskaper i engelska bland yngre generationer, en förmåga som nog inte kan tillskrivas skolan, utan snarare den omgivande kulturen. Inte heller det är nytt, utan även förr lärde man mer av film och musik än i formell undervisning, men utbudet är så mycket större numera, och därtill av mer interaktivt slag.

Konkurrens från det allt ymnigare kulturella smörgåsbordet är samtidigt en given delförklaring till att vi observerar ett kontinuerligt fall i kunskaper i matematik, hela vägen från 1960-talet, då man började mäta förkunskaper vid universitet och högskola. Att döma av än tidigare entréprov har den trenden varit ihållande under hela 1900-talet, och det är alltså inget man specifikt kan klandra regimerna Persson eler Reinfeldt för.

Det är inte heller unikt för Sverige, utan en trend som observeras i hela Västvärlden. Saken gäller dessutom inte bara matematik, utan även basala språkkunskaper och andra färdigheter. Ungdomarna kanske är lite bättre på engelska, men samtidigt är kunskaperna i modersmålet avgjort sämre, samtidigt som man inte längre läser böcker.

Med massiv invandring har analfabetismen återkommit till Sverige, tillsammans med utrotade sjukdomar, förlegade beteenden och annat misshagligt elände, omfattande inte mindre än tio procent av befolkningen. Eftersom detta klientel blandas med det inhemska, försämras studiemiljön omedelbart som en given konsekvens, när «alla ska med» i minsta gemensamma nämnarens takt.

Generation zombies mobilberoende och ointresse för böcker hjälper inte den utvecklingen, och med bristfälliga språkkunskaper blir inlärning av såväl matematik som annat stoff lidande. Vi talar alltså om ett större systemfel snarare än enskilda brister i just matematikundervisningen.

Motsvarande defekter finns inte bland de östasiatiska nationerna, som år efter år tronar i ensamt majestät i Pisa-undersökningarna i matematik. Kina, Japan, Sydkorea och Singapore har vitt skilda politiska system, men en gemensam bildningskultur med fond i meritokrati och konfucianism, en kultur som förmår motstå moderna inslag som sociala medier, spel och annat.

Det är också i dessa östasiatiska länder dagens och morgondagens teknik danas, eftersom det finns ett givet incitament att förkovra sig i dessa ämnen och en kultur som premierar meritokrati mer än politisk korrekthet, kontakter och annat irrelevant stoff.

Man behöver i denna kultur inte tampas med frågor kring *2SHBTQIAP++ eller utforska sin «könsidentitet», och inte heller har man att bekymra sig om stök och bråk i klassrummet eftersom läraren har erforderlig auktoritet. Samma kultur ger tigermammor med hårda krav om resultat i skolan, vilket borgar för flit och småningom resultat.

Men detta flit brukar man härstädes fnysa åt som gammalmodig preussisk undervisning av repetitiv form, som sägs resultera i robotar utan förmåga till självständigt tänkande, medan vi i Väst är så oerhört «kreativa» enbart i kraft av vår förmenta frihet (hur den nu skiljer sig från motsvarande frihet i Sydkorea eller Japan).

Matematik är dock elementärt av påbyggnadskaraktär, där tusentals och åter tusentals element bygger en större helhet. Behärskar man inte de underliggande grunderna, förmår man inte heller ta till sig mer avancerade begrepp. Och byggstenarna lär man med repetition, repetition, repetition. Repetition är grunden i allt lärande, och en direkt förutsättning för kreativt tänkande med utgångspunkt i befintlig kunskap.

Härav förstår vi att det inte är läroböckernas fel att eleverna presterar allt sämre i matematik, utan en lång rad faktorer som samverkar i riktning mot bildningsförfall: konkurrens om uppmärksamheten, stök i skolan, fokus på politisk korrekthet, kravlöshet från både hem och skola, massinvandring, misslyckad integration, usla incitament, ständigt politiskt pillande i skolan med betygsreformer och annat.

Hur man ska tackla det problemet är inte gott att veta, men man måste nog vända på var och en av dessa stenar för att få rätsida på problemet. Hur danar man en stabil bildningkultur ur detta moras? En meritokratisk ordning? Incitament för att lära matematik? Nej, lösningen ligger nog inte i att avskaffa «mängdlära» eller andra flashbackmässiga stolligheter…

Kategorier
Matematik

Division med noll

Småskolans aritmetiska övningar brukar ge barnen en del huvudbry när division introduceras, nämligen för att man får veta att man inte kan «dela med noll». Även vuxna har en del kognitiva hinder att förstå den utsagan, kanske mest för att man har lärt sig enkla mekaniska regler snarare än mer formella definitioner.

Om vi för ett ögonblick rekapitulerar den allra första klassens aritmetik i form av addition (+) över mängden av de naturliga talen ℕ = {1, 2, 3…}, har vi här magman eller gruppoiden (ℕ, +), en algebraisk struktur 𝑀 = {∀a, b ∈ ℕ: a + b ∈ ℕ}. En magma är således en mängd (här ℕ) med en binär operator (här +) sådan att mängden är sluten under operationen.

Det är vidare en semigrupp, då den binära operationen addition är associativ: ∀a, b, c ∈ ℕ: (a + b) + c = a + (b + c), samt därtill en abelsk semigrupp, då operationen är kommutativ: ∀a, b ∈ ℕ: a + b = b + a.

Härav följer att även (ℕ, ·), det vill säga mängden av naturliga tal under den binära operationen multiplikation, är en magma respektive abelsk semigrupp, eftersom varje naturligt tal multiplicerat med ett annat naturligt tal också är ett naturligt tal. Däremot kan man inte subtrahera alla naturliga tal under slutenhet, utan kan då hamna utanför den givna mängden. Exempelvis är 3 – 7 = -4 ∉ ℕ.

För subtraktion måste man således vidga mängden ℕ till mängden av alla heltal ℤ = {… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}, där vi även definierar det neutrala elementet eller identitetselementet noll (0): ∀a ∈ ℤ: ∃0 ∈ ℤ: a + 0 = a. Eftersom det är en abelsk semigrupp följer omedelbart att även 0 + a = a.

Strukturen (ℤ, 0, +) är en monoid, det vill säga en semigrupp med en associativ binär operator och ett identitetselement 0. På samma sätt är strukturen (ℤ, 1, ·) under multiplikation en kommutativ monoid med identitetselement 1: ∀a ∈ ℤ: ∃1 ∈ ℤ: a · 1 = 1 · a = a.

I själva verket är (ℤ, 0, +) en grupp, då varje element i mängden har en additiv invers: ∀a ∈ ℤ: ∃b ∈ ℤ: a + b = 0. Det inversa elementet b betecknas här -a, eller mer generellt a-1. En grupp är således en mängd med en binär operator under gruppaxiomen om associativitet, identitetselement och inverst element.

Däremot är (ℤ, 1, ·) inte en grupp, då mängden saknar inversa element för samtliga ingående element utöver 1. För exempelvis 4 ∈ ℤ finns inget inverst element b sådant att 4·b = 1, eftersom ¼ ∉ ℤ. För division behöver vi därför vidga strukturen ytterligare.

Mängden av alla rationella tal ℚ = {a ∈ ℤ, b ∈ ℤ\{0}: a / b} av fraktioner av heltal a och b sådana att b ≠ 0 ger här en mängd som är sluten även under division, med undantag för det additiva enhetselementet noll. Det ligger således i själva definitionen av strukturen att division med noll inte är möjlig.

Strukturen (ℚ, 0, +) är alltjämt en grupp, men det är däremot inte (ℚ, 1, ·), eftersom elementet noll saknar multiplikativ invers. Däremot bildar mängden ℚ\{0} = {q ∈ ℚ, q ≠ 0} under multiplikation en grupp, eftersom inga tal q, r ∈ ℚ\{0} ger noll som produkt vid multiplikation. Slutenheten är därför garanterad.

Mängden ℚ av rationella tal under de båda binära operationerna addition och multiplikation bildar vidare en (kommutativ) ring 𝘙 = (ℚ, 0, 1, +, ·), en algebraisk struktur som kombinerar den abelska gruppen (ℚ, 0, +) och semigruppen (ℚ, 1, ·) under distributivitet: ∀a, b, c ∈ ℚ: a · (b + c) = a · b + a · c. Strukturen saknar en multiplikativ invers, det vill säga att division inte är definierad.

Ringen 𝘙 = (ℚ, 0, 1, +, ·) tillsammans med en multiplikativ invers bildar istället en kropp 𝘒 = (ℚ, 0, 1, +, ·), sammanfattad i följande egenskaper:

  • associativitet: a + (b + c) = (a + b) + c samt a · (b · c) = (a · b) · c
  • kommutativitet: a + b = b + a samt a · b = b · a
  • additiv identitet: ∀a ∈ ℚ: ∃0 ∈ ℚ: a + 0 = a
  • multiplikativ identitet: ∀a ∈ ℚ: ∃1 ∈ ℚ: a · 1 = a
  • additiv invers: ∃a, -a ∈ ℚ: a + (-a) = 0
  • multiplikativ invers: ∃a, a-1 ∈ ℚ: a · a-1 = 1, a ≠ 0
  • distributivitet: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

(ℚ, 0, 1, +, ·) är en primkropp, det vill säga en kropp som saknar en mindre delkropp. Det är väsentligen den struktur som definierar grundskolans aritmetik. Den större mängden av reella tal ℝ kompletterar småningom ℚ med alla irrationella tal som inte kan uttryckas som en fraktion a / b, till exempel π, √3 och e. I högre utbildning tillkommer även mängden av komplexa tal ℂ = {a, b ∈ ℝ: a + bi, i² = -1} och andra divisionsalgebror.

Division är här definierad som den multiplikativa inversen snarare än som en egen operation. På samma sätt är subtraktion definierad som den additiva inversen. Per definition är division med noll därför utesluten, nämligen för att noll saknar multiplikativ invers.

Antag nämligen att det existerar en multiplikativ invers 0-1 = 1/0 ∈ ℚ. För varje multiplikativ invers x ∈ ℚ gäller enligt kroppsaxiomen ovan att x · x-1 = 1, och således att 0 · 0-1 = 0 / 0 = 1. Antag nu att det finns ett tal x / 0 = y, varvid x = 0 · y = 0. Den sista relationen gäller för alla y ∈ ℚ, varvid x / 0 blir obestämt. Det är en orimlighet.

Men ponera att vi har mängden ℤ/1ℤ = {0}, det vill säga den triviala mängden (modulo 1). Kroppen 𝘒 = (ℤ/1ℤ, 0, +, ·) har då både additiv och multiplikativ identitet 0. Vi har nämligen ∀a ∈ 𝘒: a = a · 1 = a · 0 = 0, det vill säga 0 = 1. Därmed existerar en multiplikativ invers av 0 i ℤ/1ℤ, och division med 0 är här möjlig: 1 / 0 = 0 / 0 = 1 = 0.

Man kan också definiera ett hjul 𝐻 = (ℍ, 0, 1, +, ·, /) för någon mängd ℍ, där (ℍ, 0, +) är en kommutativ monoid och (ℍ, 1, ·, /) en kommutativ monoid med en unär involutionsoperator /. En involution är en funktion som är sin egen invers, det vill säga f-1(x) = f(x). Speciellt är involutionen / här en operator sådan att //x = x och /(xy) = yx.

För ett hjul har vi vidare följande axiom:

  • distributivitet: (x + y)z + 0z = xz + yz samt x/y + z + 0y = (x + yz)/y
  • 0 · 0 = 0
  • (x + 0y)z = xz + 0y
  • /(x + 0y) = /x + 0y
  • x + 0/0 = 0/0

Exempel på hjul är det så kallade triviala hjulet för den triviala mängden {0} ovan; kroppsutvidgningen ℚ\{/0, 0/0}, samt = {0, 1, /0, 0/0} i mängden ℤ\2ℤ av heltal modulo 2.

Ett hjul är således en naturlig utvidgning av en ring, under medgivande av generell division, även med 0. Division är här inte den sedvanliga binära operationen, utan en multiplikativ operation med den unära involutionsoperatorn /: a/b betecknar a · /b. I allmänhet gäller inte att x / x = 1, och inte heller att x – x = 0. Men om 0 · x = 0 samt 0 / x = 0 för något x, så gäller de gängse identiteterna. Några egenskaper:

  • /1 = 1
  • 0x + 0y = 0xy
  • (0/0)x = 0/0
  • x/x = 1 + 0x/x
  • xz = yz ⇒ x + 0z/z = y + 0z/z

Termerna 0/0 respektive 1/0 kan även betecknas ⊥ eller ∞, varvid räknereglerna blir mer begripliga, exempelvis x + 0/0 = 0/0 ⇔ x + ∞ = ∞, eller (0/0)x = 0/0 ⇔ ∞ · x = ∞, det vill säga obestämda kvantiter. Härav följer även att multiplikation och addition med 0 är obestämt (i allmänhet), vilket ger sådant som 0x + 0y = 0xy.

Frågan huruvida man kan dela med noll beror således på vilken mängd som avses, och i vilken algebra divisionen sker, samt vad man menar med noll. Det är en definitionsfråga mer än en teknikalitet, även om de gamla egyptierna och grekerna inte förmådde abstrahera problemet sålunda.

Har barnen månne frågor på detta?

Kategorier
Filosofi Matematik Vetenskap

Diskontinuum

Zenon från Elea (~-490/-430) uppfann dialektiken, det vill säga att från tes och antites konstruera en syntes med större giltighet och sanningshalt än de ursprungliga ståndpunkterna. Ur till synes giltiga premisser härledde Zenon ofta en reductio ad absurdum, eller en orimlig konklusion, för att vederlägga sina motdebattörer.

Än i dag är hans paradoxer om rörelsens natur aktuella, och visar på samma sätt som de samtida grekiska tänkarna och de kinesiska daoisterna att antikens filosofi alltjämt har beröringspunkter med den moderna vetenskapen.

Låt oss som exempel betrakta tudelningsparadoxen, i vilken man ska förflytta sig en sträcka med en viss längd L, som vi för enkelhetens skull kan normera till L = 1. Innan man når L = 1, måste man passera halva denna sträcka, det vill säga ½, och dessförinnan även halva denna sträcka, det vill säga ¼, och så vidare i oändlig progression: ½, ¼, ⅛…

Eftersom det krävs ett oändligt antal förflyttningar, kommer man emellertid aldrig fram, enligt Zenons resonemang. Till yttermera visso kan man inte ens ta ett första steg, eftersom den första delsträckan är en godtyckligt liten och obestämd infinitesimal ε → 0.

Med reguljär kalkyl kan man emellertid enkelt lösa problemet, nämligen genom att betrakta serien ∑1/2k för k∈[1, ∞[, som naturligtvis konvergerar med summa 1. Bevis: Låt s = ∑1/2k = ½ + ¼ + ⅛ + … Då är 1 + s = 1 + ½ + ¼ + ⅛ + … = 2s, Q.E.D. Det innebär att man med visshet når slutmålet, eftersom den oändliga serien även har en korresponderande tidsserie med allt kortare tidsintervall för att tillryggalägga varje delsträcka.

En snarlik paradox gäller en kapplöpning mellan en hare och en sköldpadda, där det senare djuret får ett försprång mot den betydligt snabbare palten. Zenon resonerar här att haren aldrig kommer ikapp, ty när den har sprungit den ursprungliga distansen, har sköldpaddan drygat ut försprånget ytterligare, om än med en liten marginal.

Även här får man en oändlig serie, som löses enligt samma principer med infinitesimalkalkyl. Paradoxen tycks därmed få sin upplösning genom en korrekt matematisk behandling av oändligheter. Men existerar sådana oändligheter i den fysiska verkligheten?

Sedan drygt ett sekel vet vi att mikrokosmos är diskontinuerligt, och att den mekanik som beskrivs med kalkyl bara är giltig i asymptotisk mening, i makrovärlden – den så kallade (fysikaliska) kontinuumshypotesen. Matematiska resonemang om oändligheten kan inte tillämpas på diskreta strukturer.

Exempelvis har vi att elektroner bara kan avge ljus som kvanta, det vill säga diskreta eller kvantiserade energinivåer snarare än i ett kontinuerligt spektrum. På samma sätt utmärks alla tillstånd i den subatomära världen av diskreta kvanttal för egenskaper som laddning och spinn, något som egentligen inte borde överraska när man når materians fundamentala och helt odelbara beståndsdelar.

Ändå närde man länge en tro att världen är lika kontinuerlig och mjuk som den matematik man förlitar sig på. Numera utgår man (de flesta) istället från att mikrokosmos i allt är diskontinuerligt och diskret, och att det för varje fysikalisk storhet finns en minsta enhet, som inte kan delas vidare.

Om vi tillämpar det resonemanget för tudelningsparadoxen ovan, finner vi att det existerar en minsta sträcka h som inte kan halveras, och serien blir därmed ändlig, varvid paradoxen upphör. Ty eftersom det finns en bestämd minsta delsträcka h > 0, krävs det bara ett ändligt antal (1/h) steg för att tillryggalägga hela sträckan.

Problemet med paradoxen – och dess traditionella lösning – ligger alltså i premissen att det överhuvudtaget är möjligt att dela rummet oändligt många gånger. Det är lika asburt som att materian skulle kunna delas ett oändligt antal gånger, något vi numera vet inte går – materian har en bortre gräns i delning.

Men det förfäktade även Demokritos och den tidens atomister, som var samtida med Zenon. I själva verket hörde Zenon till en konkurrerande skola under Parmenides, som ansåg att förändring är omöjlig och att existensen är tidlös, att det i själva verket rör sig om skenbara fenomen. Hans paradoxer kan därför ses som ett slags invändningar mot atomisternas idéer.

En helt annan sak gäller att experimentellt bevisa att världen till sin natur verkligen är diskontinuerlig, något som förmodligen är omöjligt även i princip. Detta för att skalan för de minsta enheterna är bortanför all mätbarhet, i vart fall för föreslagna modeller.

I den vanligaste hypotesen har man med dimensionsanalys och fundamentala naturkonstanter härlett planckenheterna som minsta värden, och för exempelvis utbredning i rummet har man plancklängden lP = √(ℏG/c³) ≈ 1.62·10-35 m, och för tid plancktiden tP = √(ℏG/c⁵) ≈ 5.4·10-44 s.

Under sådana pyttedimensioner förefaller subatomära nukleoner vara ofantligt stora objekt, och exempelvis en proton motsvarar i radie 1020 sådana plancklängder. Det innebär att rumtiden på subatomär nivå är kontinuerlig med den bästa precision man kan begära, även om elementarpartiklar (fältexcitationer) i den miljön uppför sig kvantmekaniskt diskret.

Men även om man inte kan bevisa saken experimentellt, är det ändå en rimlig filosofisk princip för verklighetens natur, ett postulat ur vilket man kan härleda en rad andra fenomen i ett slags tankeexperiment.

Ett sådant gäller universums utbredning, som beror av dess krökningsgrad. Om energidensitetsparametern Ω i Friedmanns ekvationer för den allmänna relativitetsteorin är Ω = 1 är universum platt och därmed även oändligt, i vart fall för ett sammanhängande universum utan «håligheter» – man kan ju i princip tänka sig andra geometrier, som en torus, som också är platt i detta avseende.

Man mäter här den så kallade krökningsparametern till (Planck 2015) k = 0.000 ± 0.005, vilket motsvarar Ω = 1 och därmed ett platt universum. Men samtidigt gäller mätningen det observerbara universum, som är en mindre fraktion av hela universum – högst 1/250, men kanske så litet som en del på 1023 uttryckt i radie. Det innebär att universum förefaller vara lokalt platt, på samma sätt som vi lokalt uppfattar att jorden är platt, innan vi lyfter blicken ovanför markytan i tillräcklig grad och ser en krökt horisont.

Med vår filosofiska princip om verklighetens natur som ett diskontinuum kan vi slå fast att universum under alla omständigheter inte är oändligt i utbredning, eftersom oändligheter alltså inte existerar i den fysiska verkligheten. Vi kan även med Ockams rakkniv utesluta att universum är en torus eller någon annan munkformad kropp, utan är en sfärisk, sluten och kompakt kropp med Ω > 1, om än lokalt platt.

Ytterligare en konsekvens är att matematiken inte är upptäckt och avslöjad, utan uppfunnen och konstruerad, i vart fall i stora drag. Naturen gav oss heltalen, och resten är ett resultat av den mänskliga fantasin, som någon uttryckte saken. Abstrakta fenomen som π, √2 och andra irrationella tal existerar således inte i verkligheten annat än som mycket goda approximationer, och är i övrigt mänskliga idealiseringar.

Betydligt svårare att föreställa sig är den diskreta rumtidens natur i dess fundamentala skala. Man kan här tänka sig att rumtiden vävs samman med diskreta punkter lP i utbredning, ett tredimensionellt rutnät som på den allra lägsta nivån är synnerligen diffust och odefinierat, en miljö i vilken ingen fysikalisk aktivitet kan pågå, ett surrealistiskt rum där den gängse geometrin och metriken är upphävd och pythagoras sats inte längre gäller.

Den enormt lilla skalan tycks krävas just för att kunna bygga en höggradigt approximativt kontinuerlig rumtid för verklig växelverkan, och i själva verket är det vi uppfattar som dimensioner och geometri ett emergent fenomen i denna struktur, alltså en skenbar effekt – Zenon och hans polare hade förstått precis.

Kategorier
Kultur Matematik Vetenskap

π

Fjortonde mars utgör av hävd internationella pi-dagen, eftersom konstanten π ≈ 3.14 och datumet i fråga antar den formen med anglosfära imperieenheter (3/14). Men även i en ISO-kontext låter sig formatet nyttjas, om man bortser från det inledande årtalet och den obligatoriska tvåställigheten: 03-14.

Varför π, och inte e, i, √2 eller φ? π är trots allt en ganska banal konstant, som råkar uttrycka förhållandet mellan en cirkels omkrets (perimeter) och diameter.

Å andra sidan kan man förstå evenemanget som en kampanj för att marknadsföra matematik, och då passar det allom bekanta π bättre än mer svårgreppbara konstanter. Mycket riktigt har firandet sedermera lagts till den ständigt växande floran av FN-dagar under namnet internationella matematikdagen. En ordlek på engelska ger också att man får äta paj dagen till ära, vilket är nog så viktigt.

Men π är så mycket mer än ett enkelt förhållande mellan cirkelns olika längdmått, och förekommer ymnigt i såväl matematik som tillämpningar i fysik och andra naturvetenskaper. Ett i förstone bisarrt resultat ger till exempel att ett antal fundamentala konstanter kan sammanlänkas med Eulers formel eiπ + 1 = 0.

π kan även uttryckas som ett antal oändliga serier, till exempel π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – … = ∑(-1)k · 1/(2k + 1), som är identiskt med tan-11. Mer svårförståelig är expansionen π²/6 = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + … = ∑1/k², ty här finns i förstone inga cirklar involverade – se nedanstående video.

Konstanten är vidare av talteoretiskt intresse, då det är ett irrationellt och ett transcendentalt tal. Det innebär att π ≠ a/b för några a, b ∈ 𝐍, och att π inte är en rot till ett polynom med rationella koefficienter. Det är inget märkvärdigt med det, då de flesta tal är av den karaktären – men det ger en talteoretisk bestämning av π.

I kulturhistorisk mening är π den första icketriviala matematiska konstant som nyttjas i de första egyptiska och babyloniska civilisationerna, möjligen i konkurrens med √2. Grekerna, som praktiserade matematik som en kult, fann ett sätt att bestämma konstantens värde med godtyckligt antal decimaler, medan ingenjörerna i Egypten och Sumer hade ett mer praktiskt intresse och sålunda avrundade till 22/7 och 25/8 med flera varianter. Än i denna dag används kort och gott heltalet 3 i vissa praktiska tillämpningar.

I kvantmekaniken uppträder π i Heisenbergs osäkerhetsrelation ∆x·∆p ≥ ħ = h/2π, vilket i klartext betyder att produkten av respektive standardavvikelse för moment p och position x alltid överstiger Plancks konstant h genom 2π. π dyker upp i detta sammanhang för att det rör sig om en statistisk normalfördelning, vars täthetsfunktion råkar innehålla uttrycket √(2π) och därmed har anknytning till cirkeln.

Även i Maxwells ekvationer för elektromagnetism uppträder π, bland annat genom den magnetiska konstanten μ₀ = 4π·10-7, för vilken en rad intressanta samband finns. Bland annat kan ljusets hastighet c uttryckas som 1/c² = ε₀μ₀, där ε₀ är den elektriska konstanten.

Faktorer av 4π i elektromekaniken beror delvis på vilka enheter man använder, och sedan SI-systemet omdefinierades för ett par år sedan förekommer inte längre π explicit för den magnetiska konstanten. Men i grunden finns förstås en cirkel, eller rättare sagt en sfär, i detta fall runt en en laddad punktpartikel, som efter ytintegrering leder fram till ett uttryck med 4π – det rör sig om en area för en sfär, enligt den kända formeln A = 4πr².

Sfärer och besläktade kroppar förekommer inte bara i den subatomära världen, utan även i den makroskopiska. Coulombs elektrostatiska lag och Newtons gravitationslag är som bekant strukturellt identiska, och den senare har en mer exakt efterföljare i Einsteins allmänna relativitetsteori, vars fältekvationer givetvis innehåller π: R𝜇𝜈 – ½Rg𝜇𝜈 = 8πGT𝜇𝜈.

π förekommer således i de mest fundamentala av fysikaliska teorier, och är ett uttryck för att vi lever i en cirkulär eller snarare tredimensionellt sfärisk värld med himlakroppar och andra fysikaliska entiteter som antar runda former enligt de lagar som bestämmer universums karaktär. Fyrkanter med √2 som rättesnöre finns bara i människans pyramidala värld, medan naturen strävar efter sfärisk harmoni under π.