Kategori: Matematik

Kategorier
Matematik

Division med noll

Småskolans aritmetiska övningar brukar ge barnen en del huvudbry när division introduceras, nämligen för att man får veta att man inte kan «dela med noll». Även vuxna har en del kognitiva hinder att förstå den utsagan, kanske mest för att man har lärt sig enkla mekaniska regler snarare än mer formella definitioner.

Om vi för ett ögonblick rekapitulerar den allra första klassens aritmetik i form av addition (+) över mängden av de naturliga talen ℕ = {1, 2, 3…}, har vi här magman eller gruppoiden (ℕ, +), en algebraisk struktur 𝑀 = {∀a, b ∈ ℕ: a + b ∈ ℕ}. En magma är således en mängd (här ℕ) med en binär operator (här +) sådan att mängden är sluten under operationen.

Det är vidare en semigrupp, då den binära operationen addition är associativ: ∀a, b, c ∈ ℕ: (a + b) + c = a + (b + c), samt därtill en abelsk semigrupp, då operationen är kommutativ: ∀a, b ∈ ℕ: a + b = b + a.

Härav följer att även (ℕ, ·), det vill säga mängden av naturliga tal under den binära operationen multiplikation, är en magma respektive abelsk semigrupp, eftersom varje naturligt tal multiplicerat med ett annat naturligt tal också är ett naturligt tal. Däremot kan man inte subtrahera alla naturliga tal under slutenhet, utan kan då hamna utanför den givna mängden. Exempelvis är 3 – 7 = -4 ∉ ℕ.

För subtraktion måste man således vidga mängden ℕ till mängden av alla heltal ℤ = {… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}, där vi även definierar det neutrala elementet eller identitetselementet noll (0): ∀a ∈ ℤ: ∃0 ∈ ℤ: a + 0 = a. Eftersom det är en abelsk semigrupp följer omedelbart att även 0 + a = a.

Strukturen (ℤ, 0, +) är en monoid, det vill säga en semigrupp med en associativ binär operator och ett identitetselement 0. På samma sätt är strukturen (ℤ, 1, ·) under multiplikation en kommutativ monoid med identitetselement 1: ∀a ∈ ℤ: ∃1 ∈ ℤ: a · 1 = 1 · a = a.

I själva verket är (ℤ, 0, +) en grupp, då varje element i mängden har en additiv invers: ∀a ∈ ℤ: ∃b ∈ ℤ: a + b = 0. Det inversa elementet b betecknas här -a, eller mer generellt a-1. En grupp är således en mängd med en binär operator under gruppaxiomen om associativitet, identitetselement och inverst element.

Däremot är (ℤ, 1, ·) inte en grupp, då mängden saknar inversa element för samtliga ingående element utöver 1. För exempelvis 4 ∈ ℤ finns inget inverst element b sådant att 4·b = 1, eftersom ¼ ∉ ℤ. För division behöver vi därför vidga strukturen ytterligare.

Mängden av alla rationella tal ℚ = {a ∈ ℤ, b ∈ ℤ\{0}: a / b} av fraktioner av heltal a och b sådana att b ≠ 0 ger här en mängd som är sluten även under division, med undantag för det additiva enhetselementet noll. Det ligger således i själva definitionen av strukturen att division med noll inte är möjlig.

Strukturen (ℚ, 0, +) är alltjämt en grupp, men det är däremot inte (ℚ, 1, ·), eftersom elementet noll saknar multiplikativ invers. Däremot bildar mängden ℚ\{0} = {q ∈ ℚ, q ≠ 0} under multiplikation en grupp, eftersom inga tal q, r ∈ ℚ\{0} ger noll som produkt vid multiplikation. Slutenheten är därför garanterad.

Mängden ℚ av rationella tal under de båda binära operationerna addition och multiplikation bildar vidare en (kommutativ) ring 𝘙 = (ℚ, 0, 1, +, ·), en algebraisk struktur som kombinerar den abelska gruppen (ℚ, 0, +) och semigruppen (ℚ, 1, ·) under distributivitet: ∀a, b, c ∈ ℚ: a · (b + c) = a · b + a · c. Strukturen saknar en multiplikativ invers, det vill säga att division inte är definierad.

Ringen 𝘙 = (ℚ, 0, 1, +, ·) tillsammans med en multiplikativ invers bildar istället en kropp 𝘒 = (ℚ, 0, 1, +, ·), sammanfattad i följande egenskaper:

  • associativitet: a + (b + c) = (a + b) + c samt a · (b · c) = (a · b) · c
  • kommutativitet: a + b = b + a samt a · b = b · a
  • additiv identitet: ∀a ∈ ℚ: ∃0 ∈ ℚ: a + 0 = a
  • multiplikativ identitet: ∀a ∈ ℚ: ∃1 ∈ ℚ: a · 1 = a
  • additiv invers: ∃a, -a ∈ ℚ: a + (-a) = 0
  • multiplikativ invers: ∃a, a-1 ∈ ℚ: a · a-1 = 1, a ≠ 0
  • distributivitet: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

(ℚ, 0, 1, +, ·) är en primkropp, det vill säga en kropp som saknar en mindre delkropp. Det är väsentligen den struktur som definierar grundskolans aritmetik. Den större mängden av reella tal ℝ kompletterar småningom ℚ med alla irrationella tal som inte kan uttryckas som en fraktion a / b, till exempel π, √3 och e. I högre utbildning tillkommer även mängden av komplexa tal ℂ = {a, b ∈ ℝ: a + bi, i² = -1} och andra divisionsalgebror.

Division är här definierad som den multiplikativa inversen snarare än som en egen operation. På samma sätt är subtraktion definierad som den additiva inversen. Per definition är division med noll därför utesluten, nämligen för att noll saknar multiplikativ invers.

Antag nämligen att det existerar en multiplikativ invers 0-1 = 1/0 ∈ ℚ. För varje multiplikativ invers x ∈ ℚ gäller enligt kroppsaxiomen ovan att x · x-1 = 1, och således att 0 · 0-1 = 0 / 0 = 1. Antag nu att det finns ett tal x / 0 = y, varvid x = 0 · y = 0. Den sista relationen gäller för alla y ∈ ℚ, varvid x / 0 blir obestämt. Det är en orimlighet.

Men ponera att vi har mängden ℤ/1ℤ = {0}, det vill säga den triviala mängden (modulo 1). Kroppen 𝘒 = (ℤ/1ℤ, 0, +, ·) har då både additiv och multiplikativ identitet 0. Vi har nämligen ∀a ∈ 𝘒: a = a · 1 = a · 0 = 0, det vill säga 0 = 1. Därmed existerar en multiplikativ invers av 0 i ℤ/1ℤ, och division med 0 är här möjlig: 1 / 0 = 0 / 0 = 1 = 0.

Man kan också definiera ett hjul 𝐻 = (ℍ, 0, 1, +, ·, /) för någon mängd ℍ, där (ℍ, 0, +) är en kommutativ monoid och (ℍ, 1, ·, /) en kommutativ monoid med en unär involutionsoperator /. En involution är en funktion som är sin egen invers, det vill säga f-1(x) = f(x). Speciellt är involutionen / här en operator sådan att //x = x och /(xy) = yx.

För ett hjul har vi vidare följande axiom:

  • distributivitet: (x + y)z + 0z = xz + yz samt x/y + z + 0y = (x + yz)/y
  • 0 · 0 = 0
  • (x + 0y)z = xz + 0y
  • /(x + 0y) = /x + 0y
  • x + 0/0 = 0/0

Exempel på hjul är det så kallade triviala hjulet för den triviala mängden {0} ovan; kroppsutvidgningen ℚ\{/0, 0/0}, samt = {0, 1, /0, 0/0} i mängden ℤ\2ℤ av heltal modulo 2.

Ett hjul är således en naturlig utvidgning av en ring, under medgivande av generell division, även med 0. Division är här inte den sedvanliga binära operationen, utan en multiplikativ operation med den unära involutionsoperatorn /: a/b betecknar a · /b. I allmänhet gäller inte att x / x = 1, och inte heller att x – x = 0. Men om 0 · x = 0 samt 0 / x = 0 för något x, så gäller de gängse identiteterna. Några egenskaper:

  • /1 = 1
  • 0x + 0y = 0xy
  • (0/0)x = 0/0
  • x/x = 1 + 0x/x
  • xz = yz ⇒ x + 0z/z = y + 0z/z

Termerna 0/0 respektive 1/0 kan även betecknas ⊥ eller ∞, varvid räknereglerna blir mer begripliga, exempelvis x + 0/0 = 0/0 ⇔ x + ∞ = ∞, eller (0/0)x = 0/0 ⇔ ∞ · x = ∞, det vill säga obestämda kvantiter. Härav följer även att multiplikation och addition med 0 är obestämt (i allmänhet), vilket ger sådant som 0x + 0y = 0xy.

Frågan huruvida man kan dela med noll beror således på vilken mängd som avses, och i vilken algebra divisionen sker, samt vad man menar med noll. Det är en definitionsfråga mer än en teknikalitet, även om de gamla egyptierna och grekerna inte förmådde abstrahera problemet sålunda.

Har barnen månne frågor på detta?

Kategorier
Filosofi Matematik Vetenskap

Diskontinuum

Zenon från Elea (~-490/-430) uppfann dialektiken, det vill säga att från tes och antites konstruera en syntes med större giltighet och sanningshalt än de ursprungliga ståndpunkterna. Ur till synes giltiga premisser härledde Zenon ofta en reductio ad absurdum, eller en orimlig konklusion, för att vederlägga sina motdebattörer.

Än i dag är hans paradoxer om rörelsens natur aktuella, och visar på samma sätt som de samtida grekiska tänkarna och de kinesiska daoisterna att antikens filosofi alltjämt har beröringspunkter med den moderna vetenskapen.

Låt oss som exempel betrakta tudelningsparadoxen, i vilken man ska förflytta sig en sträcka med en viss längd L, som vi för enkelhetens skull kan normera till L = 1. Innan man når L = 1, måste man passera halva denna sträcka, det vill säga ½, och dessförinnan även halva denna sträcka, det vill säga ¼, och så vidare i oändlig progression: ½, ¼, ⅛…

Eftersom det krävs ett oändligt antal förflyttningar, kommer man emellertid aldrig fram, enligt Zenons resonemang. Till yttermera visso kan man inte ens ta ett första steg, eftersom den första delsträckan är en godtyckligt liten och obestämd infinitesimal ε → 0.

Med reguljär kalkyl kan man emellertid enkelt lösa problemet, nämligen genom att betrakta serien ∑1/2k för k∈[1, ∞[, som naturligtvis konvergerar med summa 1. Bevis: Låt s = ∑1/2k = ½ + ¼ + ⅛ + … Då är 1 + s = 1 + ½ + ¼ + ⅛ + … = 2s, Q.E.D. Det innebär att man med visshet når slutmålet, eftersom den oändliga serien även har en korresponderande tidsserie med allt kortare tidsintervall för att tillryggalägga varje delsträcka.

En snarlik paradox gäller en kapplöpning mellan en hare och en sköldpadda, där det senare djuret får ett försprång mot den betydligt snabbare palten. Zenon resonerar här att haren aldrig kommer ikapp, ty när den har sprungit den ursprungliga distansen, har sköldpaddan drygat ut försprånget ytterligare, om än med en liten marginal.

Även här får man en oändlig serie, som löses enligt samma principer med infinitesimalkalkyl. Paradoxen tycks därmed få sin upplösning genom en korrekt matematisk behandling av oändligheter. Men existerar sådana oändligheter i den fysiska verkligheten?

Sedan drygt ett sekel vet vi att mikrokosmos är diskontinuerligt, och att den mekanik som beskrivs med kalkyl bara är giltig i asymptotisk mening, i makrovärlden – den så kallade (fysikaliska) kontinuumshypotesen. Matematiska resonemang om oändligheten kan inte tillämpas på diskreta strukturer.

Exempelvis har vi att elektroner bara kan avge ljus som kvanta, det vill säga diskreta eller kvantiserade energinivåer snarare än i ett kontinuerligt spektrum. På samma sätt utmärks alla tillstånd i den subatomära världen av diskreta kvanttal för egenskaper som laddning och spinn, något som egentligen inte borde överraska när man når materians fundamentala och helt odelbara beståndsdelar.

Ändå närde man länge en tro att världen är lika kontinuerlig och mjuk som den matematik man förlitar sig på. Numera utgår man (de flesta) istället från att mikrokosmos i allt är diskontinuerligt och diskret, och att det för varje fysikalisk storhet finns en minsta enhet, som inte kan delas vidare.

Om vi tillämpar det resonemanget för tudelningsparadoxen ovan, finner vi att det existerar en minsta sträcka h som inte kan halveras, och serien blir därmed ändlig, varvid paradoxen upphör. Ty eftersom det finns en bestämd minsta delsträcka h > 0, krävs det bara ett ändligt antal (1/h) steg för att tillryggalägga hela sträckan.

Problemet med paradoxen – och dess traditionella lösning – ligger alltså i premissen att det överhuvudtaget är möjligt att dela rummet oändligt många gånger. Det är lika asburt som att materian skulle kunna delas ett oändligt antal gånger, något vi numera vet inte går – materian har en bortre gräns i delning.

Men det förfäktade även Demokritos och den tidens atomister, som var samtida med Zenon. I själva verket hörde Zenon till en konkurrerande skola under Parmenides, som ansåg att förändring är omöjlig och att existensen är tidlös, att det i själva verket rör sig om skenbara fenomen. Hans paradoxer kan därför ses som ett slags invändningar mot atomisternas idéer.

En helt annan sak gäller att experimentellt bevisa att världen till sin natur verkligen är diskontinuerlig, något som förmodligen är omöjligt även i princip. Detta för att skalan för de minsta enheterna är bortanför all mätbarhet, i vart fall för föreslagna modeller.

I den vanligaste hypotesen har man med dimensionsanalys och fundamentala naturkonstanter härlett planckenheterna som minsta värden, och för exempelvis utbredning i rummet har man plancklängden lP = √(ℏG/c³) ≈ 1.62·10-35 m, och för tid plancktiden tP = √(ℏG/c⁵) ≈ 5.4·10-44 s.

Under sådana pyttedimensioner förefaller subatomära nukleoner vara ofantligt stora objekt, och exempelvis en proton motsvarar i radie 1020 sådana plancklängder. Det innebär att rumtiden på subatomär nivå är kontinuerlig med den bästa precision man kan begära, även om elementarpartiklar (fältexcitationer) i den miljön uppför sig kvantmekaniskt diskret.

Men även om man inte kan bevisa saken experimentellt, är det ändå en rimlig filosofisk princip för verklighetens natur, ett postulat ur vilket man kan härleda en rad andra fenomen i ett slags tankeexperiment.

Ett sådant gäller universums utbredning, som beror av dess krökningsgrad. Om energidensitetsparametern Ω i Friedmanns ekvationer för den allmänna relativitetsteorin är Ω = 1 är universum platt och därmed även oändligt, i vart fall för ett sammanhängande universum utan «håligheter» – man kan ju i princip tänka sig andra geometrier, som en torus, som också är platt i detta avseende.

Man mäter här den så kallade krökningsparametern till (Planck 2015) k = 0.000 ± 0.005, vilket motsvarar Ω = 1 och därmed ett platt universum. Men samtidigt gäller mätningen det observerbara universum, som är en mindre fraktion av hela universum – högst 1/250, men kanske så litet som en del på 1023 uttryckt i radie. Det innebär att universum förefaller vara lokalt platt, på samma sätt som vi lokalt uppfattar att jorden är platt, innan vi lyfter blicken ovanför markytan i tillräcklig grad och ser en krökt horisont.

Med vår filosofiska princip om verklighetens natur som ett diskontinuum kan vi slå fast att universum under alla omständigheter inte är oändligt i utbredning, eftersom oändligheter alltså inte existerar i den fysiska verkligheten. Vi kan även med Ockams rakkniv utesluta att universum är en torus eller någon annan munkformad kropp, utan är en sfärisk, sluten och kompakt kropp med Ω > 1, om än lokalt platt.

Ytterligare en konsekvens är att matematiken inte är upptäckt och avslöjad, utan uppfunnen och konstruerad, i vart fall i stora drag. Naturen gav oss heltalen, och resten är ett resultat av den mänskliga fantasin, som någon uttryckte saken. Abstrakta fenomen som π, √2 och andra irrationella tal existerar således inte i verkligheten annat än som mycket goda approximationer, och är i övrigt mänskliga idealiseringar.

Betydligt svårare att föreställa sig är den diskreta rumtidens natur i dess fundamentala skala. Man kan här tänka sig att rumtiden vävs samman med diskreta punkter lP i utbredning, ett tredimensionellt rutnät som på den allra lägsta nivån är synnerligen diffust och odefinierat, en miljö i vilken ingen fysikalisk aktivitet kan pågå, ett surrealistiskt rum där den gängse geometrin och metriken är upphävd och pythagoras sats inte längre gäller.

Den enormt lilla skalan tycks krävas just för att kunna bygga en höggradigt approximativt kontinuerlig rumtid för verklig växelverkan, och i själva verket är det vi uppfattar som dimensioner och geometri ett emergent fenomen i denna struktur, alltså en skenbar effekt – Zenon och hans polare hade förstått precis.

Kategorier
Kultur Matematik Vetenskap

π

Fjortonde mars utgör av hävd internationella pi-dagen, eftersom konstanten π ≈ 3.14 och datumet i fråga antar den formen med anglosfära imperieenheter (3/14). Men även i en ISO-kontext låter sig formatet nyttjas, om man bortser från det inledande årtalet och den obligatoriska tvåställigheten: 03-14.

Varför π, och inte e, i, √2 eller φ? π är trots allt en ganska banal konstant, som råkar uttrycka förhållandet mellan en cirkels omkrets (perimeter) och diameter.

Å andra sidan kan man förstå evenemanget som en kampanj för att marknadsföra matematik, och då passar det allom bekanta π bättre än mer svårgreppbara konstanter. Mycket riktigt har firandet sedermera lagts till den ständigt växande floran av FN-dagar under namnet internationella matematikdagen. En ordlek på engelska ger också att man får äta paj dagen till ära, vilket är nog så viktigt.

Men π är så mycket mer än ett enkelt förhållande mellan cirkelns olika längdmått, och förekommer ymnigt i såväl matematik som tillämpningar i fysik och andra naturvetenskaper. Ett i förstone bisarrt resultat ger till exempel att ett antal fundamentala konstanter kan sammanlänkas med Eulers formel eiπ + 1 = 0.

π kan även uttryckas som ett antal oändliga serier, till exempel π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – … = ∑(-1)k · 1/(2k + 1), som är identiskt med tan-11. Mer svårförståelig är expansionen π²/6 = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + … = ∑1/k², ty här finns i förstone inga cirklar involverade – se nedanstående video.

Konstanten är vidare av talteoretiskt intresse, då det är ett irrationellt och ett transcendentalt tal. Det innebär att π ≠ a/b för några a, b ∈ 𝐍, och att π inte är en rot till ett polynom med rationella koefficienter. Det är inget märkvärdigt med det, då de flesta tal är av den karaktären – men det ger en talteoretisk bestämning av π.

I kulturhistorisk mening är π den första icketriviala matematiska konstant som nyttjas i de första egyptiska och babyloniska civilisationerna, möjligen i konkurrens med √2. Grekerna, som praktiserade matematik som en kult, fann ett sätt att bestämma konstantens värde med godtyckligt antal decimaler, medan ingenjörerna i Egypten och Sumer hade ett mer praktiskt intresse och sålunda avrundade till 22/7 och 25/8 med flera varianter. Än i denna dag används kort och gott heltalet 3 i vissa praktiska tillämpningar.

I kvantmekaniken uppträder π i Heisenbergs osäkerhetsrelation ∆x·∆p ≥ ħ = h/2π, vilket i klartext betyder att produkten av respektive standardavvikelse för moment p och position x alltid överstiger Plancks konstant h genom 2π. π dyker upp i detta sammanhang för att det rör sig om en statistisk normalfördelning, vars täthetsfunktion råkar innehålla uttrycket √(2π) och därmed har anknytning till cirkeln.

Även i Maxwells ekvationer för elektromagnetism uppträder π, bland annat genom den magnetiska konstanten μ₀ = 4π·10-7, för vilken en rad intressanta samband finns. Bland annat kan ljusets hastighet c uttryckas som 1/c² = ε₀μ₀, där ε₀ är den elektriska konstanten.

Faktorer av 4π i elektromekaniken beror delvis på vilka enheter man använder, och sedan SI-systemet omdefinierades för ett par år sedan förekommer inte längre π explicit för den magnetiska konstanten. Men i grunden finns förstås en cirkel, eller rättare sagt en sfär, i detta fall runt en en laddad punktpartikel, som efter ytintegrering leder fram till ett uttryck med 4π – det rör sig om en area för en sfär, enligt den kända formeln A = 4πr².

Sfärer och besläktade kroppar förekommer inte bara i den subatomära världen, utan även i den makroskopiska. Coulombs elektrostatiska lag och Newtons gravitationslag är som bekant strukturellt identiska, och den senare har en mer exakt efterföljare i Einsteins allmänna relativitetsteori, vars fältekvationer givetvis innehåller π: R𝜇𝜈 – ½Rg𝜇𝜈 = 8πGT𝜇𝜈.

π förekommer således i de mest fundamentala av fysikaliska teorier, och är ett uttryck för att vi lever i en cirkulär eller snarare tredimensionellt sfärisk värld med himlakroppar och andra fysikaliska entiteter som antar runda former enligt de lagar som bestämmer universums karaktär. Fyrkanter med √2 som rättesnöre finns bara i människans pyramidala värld, medan naturen strävar efter sfärisk harmoni under π.

Kategorier
Filosofi Kultur Matematik Vetenskap

Reductio ad absurdum

Första, andra, tredje, fjärde. I språket ligger en antydan om att förhistoriska populationer inte hade något större behov av fler storheter än ett, två och många. Kardinaltalen ett och två skiljer sig etymologiskt från ordningstalen första och andra, medan de därefter följs åt i tre/tredje, fyra/fjärde och så vidare.

Vårt svenska språk är en utveckling av urnordiska, urgermanska och urindoeuropeiska i succession, vilket tar oss fem tusen år tillbaka i tiden. Säkerligen hade man även i den indoeuropeiska jamnakulturen utvecklat behov av och förmåga att handskas med större tal, bland annat för att hålla reda på boskap, men det nedärvda språket hade bevarat en äldre ordning.

Aboriginier, pirahã och många andra nutida inkarnationer av jägare–samlare saknar alltjämt ord för tal högre än två, och om behovet uppstår att räkna större kvantiteter nyttjar man helt enkelt bas 2 i primitiv mening för att bestämma antal, det vill säga två par istället för fyra.

Behovet att mer exakt kvantifiera mängder uppstår i de första civilisationerna i Sumer och Egypten, där man först använder olika benämningar för tal beroende på vad det är man räknar. Tio i tio öl eller tio bröd har således olika benämningar. Abstrakt utveckling i renodlade tal är en senare konsekvens, vilket kan verka svårförståeligt för moderna människor.

Människan har således strosat omkring i över 300 000 år utan att använda den matematiska förmåga som hjärnan erbjuder. Först när det finns behov av att lagerföra och fördela uppstår numerisk abstraktion, och först när det finns behov av att planera byggnation uppstår studium av relationer mellan tal, det vill säga aritmetik. Aritmetiken består av heltal och rationella tal, och man använder (bland annat) bas 60 (= 2·2·3·5) för att få enklare divisionsberäkningar.

Sumerer, babylonier och egyptier utvecklade således geometriska och aritmetiska samband, som emellanåt antog en religiös anstrykning. Exempelvis pyramider är byggda med vissa proportioner som vittnar om en vördnad för sådana samband. Matematiska texter i Babylon och Egypten (runt -1900) visar att man bedrev undervisning i att finna pythagoreiska tripplar och lösningar på geometriska problem, inklusive volymberäkningar.

Matematik i egentlig mening uppstår vid -530 med pythagoréerna, en sekt som nyttjade matematik som ett heligt verktyg för att finna ordning i kosmos. För pythagoréerna kunde allt beskrivas i termer av heltal och rationella tal (heltal delade med heltal), som harmoniska proportioner i musik eller perfekta geometriska kroppar.

Man nyttjade överhuvudtaget inte siffror som den mer verklighetsanknutna samtida grekiska palatskulturens aritmetik, men det var kanske också därför man kunde utveckla ett renodlat studium av matematiken som en självständig gren – μάθημα (mathema) betyder lektion eller det som ska läras.

Pythagoréerna tog således arvet från Sumer, Babylon och Egypten till en ny nivå, med sträng bevisföring som ett element. Pythagoras sats användes i praktisk mening över tusen år före Pythagoras, men det är med pythagoréerna den första allmänna framställningen föreligger, även om ett strikt bevis sker först med Euklides ett par hundra år senare.

En rätvinklig triangel med sidorna a och b respektive hypotenusan c uppvisar således sambandet a² + b² = c², som är enkelt att bevisa geometriskt. a = 3, b = 4 och c = 5 är ett numeriskt exempel med heltal, och man kan visa att rationella lösningar är enkla multiplar av heltalslösningarna.

Om vi istället sätter a = b = 1, vad blir då c? Pythagoréen Hippasos undersökte detta fall närmare (runt -450), och fann då att c inte kan uttryckas som ett rationellt tal p/q. För att visa detta antar vi att c = p/q, där heltalen p och q saknar gemensamma delare, varvid p²/q² = c² = 2 enligt Pythagoras sats.

Vi har då att p² = 2q², vilket innebär att p² är delbart med 2, ett jämnt tal. Det kan enkelt ledas i bevis att även p då är delbart med 2. Vi kan således skriva p = 2r, som vi sätter in i ekvationen p² = (2r)² = 4r² = 2q². Men här kan vi dela båda leden med 2, varvid vi erhåller 2r² = q², vilket medför att även q² är ett jämnt tal delbart med 2, och därmed att q är delbart med 2.

Därmed har vi en motsägelse, eftersom p och q antogs sakna gemensamma delare. Vi har just visat att de har den gemensamma delaren 2 under det givna antagandet, och därmed är antagandet falskt. Reductio ad absurdum och √2 är irrationellt. Myten har att detta störde heltalsmystikerna bland pythagoréerna så mycket att man lät dränka Hippasos i havet.

Man observerar här att 2 är ett primtal, och man kan med ungefär samma metod (plus aritmetikens fundamentalsats) visa att kvadratroten ur varje primtal 3, 5, 7, 11… är irrationell, och vidare att kvadratroten ur varje icke perfekt kvadrat är irrationell. Dessa samlade erfarenheter från pythagoréerna och annan grekisk matematik syntetiserades småningom runt -300 av Euklides i Στοιχεῖα (Stoicheia), mer känd som Elementa, den mest betydelsefulla bok som någonsin har skrivits och som ligger till grund för all senare matematik.

Pythagoréerna influerade även Platon och därmed hela den västerländska filosofin och den senare vetenskapen. Arvet från antikens Grekland är så ohyggligt tungt att det förefaller direkt obegripligt att man i vissa kretsar vill avskaffa undervisning i antikens historia.

I likhet med annan idéhistoriskt viktig matematik lär man i skolan faktiskt inte ut hur kvadratroten ur 2 är irrationell, trots det enkla beviset, utan man begränsar sig till att mekaniskt nyttja Pythagoras sats, vilket är mer i analogi med babylonisk och egyptisk undervisning. Som om vi hade något praktiskt behov av att räkna på trianglar.

I själva verket borde man i åtminstone gymnasiet leda i bevis att kvadratroten ur ett primtal är irrationell, som en nyttig övning i metoder som reductio ad absurdum och induktion, och för att ge en grund i talteori för vidare studier. Tyvärr finns inte en enda matematiklärare i grundskola eller gymnasium som (fritt) kan härleda att √3 är ett irrationellt tal – kan du?

Kategorier
Filosofi Kultur Matematik Vetenskap

Nedslag i matematikhistorien

Ekvationen 2x³ – 3x² – 3x + 2 = 0 löser man numera vanligtvis genom att konsultera en miniräknare eller en dator, eller så ser man direkt att x = -1 och x = 2 är lösningar, varur den tredje roten x = ½ erhålls genom en smula algebraisk manipulation.

Problemet är i sig inte så intressant, utan om det uppstår i någon tillämpning är man mer intresserad av det numeriska resultatet. Det finns ingen som helst praktisk nytta av att kunna eller härleda lösningsformler för en tredjegradsekvation.

Men samma sak gäller för andragradsekvationen ax² + bx + c = 0, som så gott som alla någon gång har sett och löst i skolan. Att man ändå härleder formeln och övar i att nyttja den beror på att man vill demonstrera principer som kan nyttjas för den som önskar studera vidare på högre nivå. För övriga faller den nog i glömska.

Polynomekvationer har dock en idéhistorisk bakgrund av intresse, för det är med dem matematiken tar sina första stapplande steg under renässansen. Som bekant förstördes antikens lärdomstradition i grunden när kristendom etablerades som teokrati efter Roms fall, och inget av matematiskt eller vetenskapligt intresse emanerade från Europa efter kristenhetens mord på Hypatia 415 förrän Fibonacci 1202 etablerade hinduarabiska siffror och arabisk matematik från de då ledande kalifaten.

Algebra (الجبر eller al-jabr, återförening) är således en disciplin som uppstod under islams guldålder, och man tampades därvid med polynomekvationer. De praktiska motsvarigheterna till sådana ekvationer var kända sedan de första civilisationerna, och det är själva metoden med manipulation av variabler som är nymodigheten.

Fibonacci kunde under 1200-talet härleda numeriska lösningar för tredjegradsekvationer, men det skulle dröja ytterligare trehundra år innan algebraiska lösningar togs fram. Italienarna Scipione del Ferro och Niccolò Tartaglia tävlade om den intellektuella äran att ge en allmän lösning, och båda fann en metod att lösa den reducerade tredjegradsekvationen x³ + px + q = 0. Resultatet publicerades dock först av Gerolamo Cardano 1545 i verket Ars Magna.

Problemet för tidens matematiker var att lösningar till sådana ekvationer kan vara såväl negativa, ett begrepp som då inte var allmänt känt (det accepterades först under 1700-talet), som komplexa, en nymodighet som utvecklades just tack vare studiet av polynomekvationer. Cardano använde komplexa tal utan att förstå innebörden, och de fick en förklaring först 1572 av Rafael Bombelli.

Låt oss först studera andragradsekvationen ax² + bx + c = 0, som efter division med a fås på sin reducerade form x² + px + q = 0. Låt oss skriva detta som (x + h)² + k, vilket kan utvecklas som x² + 2hx + (h² + k), ur vilket följer att p = 2h och q = h² + k. Manipulation ger att (1) h = p/2 och (2) k = q – h² = q – p²/4.

Givet (x + h)² + k = 0 har vi att (x + h)² = -k och därmed x + h = ±√-k eller x = -h ±√-k. Substituera (1) och (2) ovan, och vi får x = -h ±√-k = -p/2 ±√[p²/4 – q], vilket är den allmänna lösningen. Vi ser att om q > p²/4 har vi komplexa lösningar.

Motsvarande tredjegradsekvation kan direkt skrivas på reducerad form x³ + ax² + bx + c = 0, men man kan genom variabelsubstitution trolla bort den kvadratiska termen. Vi vill alltså erhålla x³ + px + q = 0, och vi sätter x = u + v: (u + v)³ + p(u + v) + q = 0, vilket efter utveckling ger u³ + 3u²v + 3uv² + v³ + p(u + v) + q = u³ + 3uv(u + v) + v³ + p(u + v) + q = u³ + (3uv + p)(u + v) + v³ + q = 0.

Cardanos – eller snarare Tartaglias och del Ferros – metod är nu att kräva 3uv + p = 0, vilket ger u³ + v³ + q = 0. Då är (1) u³ + v³ = -q och uv = -p/3 eller (2) u³v³ = -p³/27, och efter manipulation v³ = -q – u³. Infoga detta i (2): u³v³ = u³(-q -u³) = -p³/27 eller (u³)² + qu³ – p³/27 = 0.

Detta är en andragradsekvation i u³, med lösningen u³ = -q/2 ± √[q²/4 + p³/27] enligt ovan. Substitution ger v³ = -q – u³ = -q/2 ∓ √[q²/4 + p³/27], det vill säga samma lösningsmängd, och u respektive v skiljer sig enbart i ± för andra termen. Vi får därför att x = u + v = ∛u³ + ∛v³ = ∛{-q/2 + √[q²/4 + p³/27]} + ∛{-q/2 – √[q²/4 + p³/27]}, vilket är en av de tre rötterna.

Härledningen är marginellt mer komplicerad än för andragradsekvationen, och borde vara en självklar ingredient i gymnasiets matematik, dels av idéhistoriska skäl, dels som en nyttig övning i algebra. Fast numera kanske man stannar vid en linjär förstagradsekvation i gymnasiet, och lämnar andragradsekvationen till teknisk högskola… vad vet jag.

Studiet leder småningom in på modern abstrakt algebra, som är av betydligt mer intresse. Fjärdegradsekvationen kan lösas med ungefär samma metod och aningen krångligare formler, men för femte och högre grad existerar ingen allmän lösning, vilket bevisades av Abel 1824 och småningom ledde fram till galoisteori – från banal algebra till notoriskt svår och abstrakt materia.

Det man kan notera här är den exponentiella tillväxten i utvecklingen. Från Fibonaccis senmedeltid 1202 till Cardanos renässans 1545 skiljer trehundra år av smärtsamt långsam utveckling, och det är närmast ofattbart att mänskligheten inte hade kommit längre för femhundra år sedan.

Å andra sidan är det lika ofattbart hur utvecklingen därefter har accelererat och gett upphov till vår tids massivt kunskapstäta samhälle. Det ger perspektiv på tillvaron att se tillbaka i den matematiska historien och uppleva hur svindlande snabbt förändringarna har skett.