Diskontinuum

Zenon från Elea (~-490/-430) uppfann dialektiken, det vill säga att från tes och antites konstruera en syntes med större giltighet och sanningshalt än de ursprungliga ståndpunkterna. Ur till synes giltiga premisser härledde Zenon ofta en reductio ad absurdum, eller en orimlig konklusion, för att vederlägga sina motdebattörer.

Än i dag är hans paradoxer om rörelsens natur aktuella, och visar på samma sätt som de samtida grekiska tänkarna och de kinesiska daoisterna att antikens filosofi alltjämt har beröringspunkter med den moderna vetenskapen.

Låt oss som exempel betrakta tudelningsparadoxen, i vilken man ska förflytta sig en sträcka med en viss längd L, som vi för enkelhetens skull kan normera till L = 1. Innan man når L = 1, måste man passera halva denna sträcka, det vill säga ½, och dessförinnan även halva denna sträcka, det vill säga ¼, och så vidare i oändlig progression: ½, ¼, ⅛…

Eftersom det krävs ett oändligt antal förflyttningar, kommer man emellertid aldrig fram, enligt Zenons resonemang. Till yttermera visso kan man inte ens ta ett första steg, eftersom den första delsträckan är en godtyckligt liten och obestämd infinitesimal ε → 0.

Med reguljär kalkyl kan man emellertid enkelt lösa problemet, nämligen genom att betrakta serien ∑1/2^k för k∈[1, ∞[, som naturligtvis konvergerar med summa 1. Bevis: Låt s = ∑1/2^k = ½ + ¼ + ⅛ + … Då är 1 + s = 1 + ½ + ¼ + ⅛ + … = 2s, Q.E.D. Det innebär att man med visshet når slutmålet, eftersom den oändliga serien även har en korresponderande tidsserie med allt kortare tidsintervall för att tillryggalägga varje delsträcka.

En snarlik paradox gäller en kapplöpning mellan en hare och en sköldpadda, där det senare djuret får ett försprång mot den betydligt snabbare palten. Zenon resonerar här att haren aldrig kommer ikapp, ty när den har sprungit den ursprungliga distansen, har sköldpaddan drygat ut försprånget ytterligare, om än med en liten marginal.

Även här får man en oändlig serie, som löses enligt samma principer med infinitesimalkalkyl. Paradoxen tycks därmed få sin upplösning genom en korrekt matematisk behandling av oändligheter. Men existerar sådana oändligheter i den fysiska verkligheten?

Sedan drygt ett sekel vet vi att mikrokosmos är diskontinuerligt, och att den mekanik som beskrivs med kalkyl bara är giltig i asymptotisk mening, i makrovärlden – den så kallade (fysikaliska) kontinuumshypotesen. Matematiska resonemang om oändligheten kan inte tillämpas på diskreta strukturer.

Exempelvis har vi att elektroner bara kan avge ljus som kvanta, det vill säga diskreta eller kvantiserade energinivåer snarare än i ett kontinuerligt spektrum. På samma sätt utmärks alla tillstånd i den subatomära världen av diskreta kvanttal för egenskaper som laddning och spinn, något som egentligen inte borde överraska när man når materians fundamentala och helt odelbara beståndsdelar.

Ändå närde man länge en tro att världen är lika kontinuerlig och mjuk som den matematik man förlitar sig på. Numera utgår man (de flesta) istället från att mikrokosmos i allt är diskontinuerligt och diskret, och att det för varje fysikalisk storhet finns en minsta enhet, som inte kan delas vidare.

Om vi tillämpar det resonemanget för tudelningsparadoxen ovan, finner vi att det existerar en minsta sträcka h som inte kan halveras, och serien blir därmed ändlig, varvid paradoxen upphör. Ty eftersom det finns en bestämd minsta delsträcka h > 0, krävs det bara ett ändligt antal (1/h) steg för att tillryggalägga hela sträckan.

Problemet med paradoxen – och dess traditionella lösning – ligger alltså i premissen att det överhuvudtaget är möjligt att dela rummet oändligt många gånger. Det är lika asburt som att materian skulle kunna delas ett oändligt antal gånger, något vi numera vet inte går – materian har en bortre gräns i delning.

Men det förfäktade även Demokritos och den tidens atomister, som var samtida med Zenon. I själva verket hörde Zenon till en konkurrerande skola under Parmenides, som ansåg att förändring är omöjlig och att existensen är tidlös, att det i själva verket rör sig om skenbara fenomen. Hans paradoxer kan därför ses som ett slags invändningar mot atomisternas idéer.

En helt annan sak gäller att experimentellt bevisa att världen till sin natur verkligen är diskontinuerlig, något som förmodligen är omöjligt även i princip. Detta för att skalan för de minsta enheterna är bortanför all mätbarhet, i vart fall för föreslagna modeller.

I den vanligaste hypotesen har man med dimensionsanalys och fundamentala naturkonstanter härlett planckenheterna som minsta värden, och för exempelvis utbredning i rummet har man plancklängden l_P = √(ℏG/c³) ≈ 1.62·10^-35 m, och för tid plancktiden t_P = √(ℏG/c⁵) ≈ 5.4·10^-44 s.

Under sådana pyttedimensioner förefaller subatomära nukleoner vara ofantligt stora objekt, och exempelvis en proton motsvarar i radie 10²⁰ sådana plancklängder. Det innebär att rumtiden på subatomär nivå är kontinuerlig med den bästa precision man kan begära, även om elementarpartiklar (fältexcitationer) i den miljön uppför sig kvantmekaniskt diskret.

Men även om man inte kan bevisa saken experimentellt, är det ändå en rimlig filosofisk princip för verklighetens natur, ett postulat ur vilket man kan härleda en rad andra fenomen i ett slags tankeexperiment.

Ett sådant gäller universums utbredning, som beror av dess krökningsgrad. Om energidensitetsparametern Ω i Friedmanns ekvationer för den allmänna relativitetsteorin är Ω = 1 är universum platt och därmed även oändligt, i vart fall för ett sammanhängande universum utan «håligheter» – man kan ju i princip tänka sig andra geometrier, som en torus, som också är platt i detta avseende.

Man mäter här den så kallade krökningsparametern till (Planck 2015) k = 0.000 ± 0.005, vilket motsvarar Ω = 1 och därmed ett platt universum. Men samtidigt gäller mätningen det observerbara universum, som är en mindre fraktion av hela universum – högst 1/250, men kanske så litet som en del på 10²³ uttryckt i radie. Det innebär att universum förefaller vara lokalt platt, på samma sätt som vi lokalt uppfattar att jorden är platt, innan vi lyfter blicken ovanför markytan i tillräcklig grad och ser en krökt horisont.

Med vår filosofiska princip om verklighetens natur som ett diskontinuum kan vi slå fast att universum under alla omständigheter inte är oändligt i utbredning, eftersom oändligheter alltså inte existerar i den fysiska verkligheten. Vi kan även med Ockams rakkniv utesluta att universum är en torus eller någon annan munkformad kropp, utan är en sfärisk, sluten och kompakt kropp med Ω > 1, om än lokalt platt.

Ytterligare en konsekvens är att matematiken inte är upptäckt och avslöjad, utan uppfunnen och konstruerad, i vart fall i stora drag. Naturen gav oss heltalen, och resten är ett resultat av den mänskliga fantasin, som någon uttryckte saken. Abstrakta fenomen som π, √2 och andra irrationella tal existerar således inte i verkligheten annat än som mycket goda approximationer, och är i övrigt mänskliga idealiseringar.

Betydligt svårare att föreställa sig är den diskreta rumtidens natur i dess fundamentala skala. Man kan här tänka sig att rumtiden vävs samman med diskreta punkter l_P i utbredning, ett tredimensionellt rutnät som på den allra lägsta nivån är synnerligen diffust och odefinierat, en miljö i vilken ingen fysikalisk aktivitet kan pågå, ett surrealistiskt rum där den gängse geometrin och metriken är upphävd och pythagoras sats inte längre gäller.

Den enormt lilla skalan tycks krävas just för att kunna bygga en höggradigt approximativt kontinuerlig rumtid för verklig växelverkan, och i själva verket är det vi uppfattar som dimensioner och geometri ett emergent fenomen i denna struktur, alltså en skenbar effekt – Zenon och hans polare hade förstått precis.