Första, andra, tredje, fjärde. I språket ligger en antydan om att förhistoriska populationer inte hade något större behov av fler storheter än ett, två och många. Kardinaltalen ett och två skiljer sig etymologiskt från ordningstalen första och andra, medan de därefter följs åt i tre/tredje, fyra/fjärde och så vidare.
Vårt svenska språk är en utveckling av urnordiska, urgermanska och urindoeuropeiska i succession, vilket tar oss fem tusen år tillbaka i tiden. Säkerligen hade man även i den indoeuropeiska jamnakulturen utvecklat behov av och förmåga att handskas med större tal, bland annat för att hålla reda på boskap, men det nedärvda språket hade bevarat en äldre ordning.
Aboriginier, pirahã och många andra nutida inkarnationer av jägare–samlare saknar alltjämt ord för tal högre än två, och om behovet uppstår att räkna större kvantiteter nyttjar man helt enkelt bas 2 i primitiv mening för att bestämma antal, det vill säga två par istället för fyra.
Behovet att mer exakt kvantifiera mängder uppstår i de första civilisationerna i Sumer och Egypten, där man först använder olika benämningar för tal beroende på vad det är man räknar. Tio i tio öl eller tio bröd har således olika benämningar. Abstrakt utveckling i renodlade tal är en senare konsekvens, vilket kan verka svårförståeligt för moderna människor.
Människan har således strosat omkring i över 300 000 år utan att använda den matematiska förmåga som hjärnan erbjuder. Först när det finns behov av att lagerföra och fördela uppstår numerisk abstraktion, och först när det finns behov av att planera byggnation uppstår studium av relationer mellan tal, det vill säga aritmetik. Aritmetiken består av heltal och rationella tal, och man använder (bland annat) bas 60 (= 2·2·3·5) för att få enklare divisionsberäkningar.
Sumerer, babylonier och egyptier utvecklade således geometriska och aritmetiska samband, som emellanåt antog en religiös anstrykning. Exempelvis pyramider är byggda med vissa proportioner som vittnar om en vördnad för sådana samband. Matematiska texter i Babylon och Egypten (runt -1900) visar att man bedrev undervisning i att finna pythagoreiska tripplar och lösningar på geometriska problem, inklusive volymberäkningar.
Matematik i egentlig mening uppstår vid -530 med pythagoréerna, en sekt som nyttjade matematik som ett heligt verktyg för att finna ordning i kosmos. För pythagoréerna kunde allt beskrivas i termer av heltal och rationella tal (heltal delade med heltal), som harmoniska proportioner i musik eller perfekta geometriska kroppar.
Man nyttjade överhuvudtaget inte siffror som den mer verklighetsanknutna samtida grekiska palatskulturens aritmetik, men det var kanske också därför man kunde utveckla ett renodlat studium av matematiken som en självständig gren – μάθημα (mathema) betyder lektion eller det som ska läras.
Pythagoréerna tog således arvet från Sumer, Babylon och Egypten till en ny nivå, med sträng bevisföring som ett element. Pythagoras sats användes i praktisk mening över tusen år före Pythagoras, men det är med pythagoréerna den första allmänna framställningen föreligger, även om ett strikt bevis sker först med Euklides ett par hundra år senare.
En rätvinklig triangel med sidorna a och b respektive hypotenusan c uppvisar således sambandet a² + b² = c², som är enkelt att bevisa geometriskt. a = 3, b = 4 och c = 5 är ett numeriskt exempel med heltal, och man kan visa att rationella lösningar är enkla multiplar av heltalslösningarna.
Om vi istället sätter a = b = 1, vad blir då c? Pythagoréen Hippasos undersökte detta fall närmare (runt -450), och fann då att c inte kan uttryckas som ett rationellt tal p/q. För att visa detta antar vi att c = p/q, där heltalen p och q saknar gemensamma delare, varvid p²/q² = c² = 2 enligt Pythagoras sats.
Vi har då att p² = 2q², vilket innebär att p² är delbart med 2, ett jämnt tal. Det kan enkelt ledas i bevis att även p då är delbart med 2. Vi kan således skriva p = 2r, som vi sätter in i ekvationen p² = (2r)² = 4r² = 2q². Men här kan vi dela båda leden med 2, varvid vi erhåller 2r² = q², vilket medför att även q² är ett jämnt tal delbart med 2, och därmed att q är delbart med 2.
Därmed har vi en motsägelse, eftersom p och q antogs sakna gemensamma delare. Vi har just visat att de har den gemensamma delaren 2 under det givna antagandet, och därmed är antagandet falskt. Reductio ad absurdum och √2 är irrationellt. Myten har att detta störde heltalsmystikerna bland pythagoréerna så mycket att man lät dränka Hippasos i havet.
Man observerar här att 2 är ett primtal, och man kan med ungefär samma metod (plus aritmetikens fundamentalsats) visa att kvadratroten ur varje primtal 3, 5, 7, 11… är irrationell, och vidare att kvadratroten ur varje icke perfekt kvadrat är irrationell. Dessa samlade erfarenheter från pythagoréerna och annan grekisk matematik syntetiserades småningom runt -300 av Euklides i Στοιχεῖα (Stoicheia), mer känd som Elementa, den mest betydelsefulla bok som någonsin har skrivits och som ligger till grund för all senare matematik.
Pythagoréerna influerade även Platon och därmed hela den västerländska filosofin och den senare vetenskapen. Arvet från antikens Grekland är så ohyggligt tungt att det förefaller direkt obegripligt att man i vissa kretsar vill avskaffa undervisning i antikens historia.
I likhet med annan idéhistoriskt viktig matematik lär man i skolan faktiskt inte ut hur kvadratroten ur 2 är irrationell, trots det enkla beviset, utan man begränsar sig till att mekaniskt nyttja Pythagoras sats, vilket är mer i analogi med babylonisk och egyptisk undervisning. Som om vi hade något praktiskt behov av att räkna på trianglar.
I själva verket borde man i åtminstone gymnasiet leda i bevis att kvadratroten ur ett primtal är irrationell, som en nyttig övning i metoder som reductio ad absurdum och induktion, och för att ge en grund i talteori för vidare studier. Tyvärr finns inte en enda matematiklärare i grundskola eller gymnasium som (fritt) kan härleda att √3 är ett irrationellt tal – kan du?