Kategori: Matematik

Då ännu ett år går mot sitt slut kan det finnas anledning att närmare betrakta bakgrunden till tideräkningen. Vår nuvarande kalender har en lång och brokig historia, med synligt ursprung i det framväxande romerska imperiet från 700-talet f.v.t., men är i själva verket av ännu äldre grekiskt och ytterst sumeriskt arv. Själva ordet kalender stammar från latinets kalendae, med betydelse första dagen i månaden.

Månad är i sig en avledning från måne, och månens olika faser har därmed utgjort en naturlig astronomisk tidsmätare i många kulturer, alltjämt så i den muslimska. Problemet med en renodlad månkalender är att årets 365 dagar inte motsvarar ett heltal av fulla månfaser, och att kalendern därmed förskjuts cirka elva dagar varje år, vilket får anses vara en betydande glidning: ett helt kalenderår per 33 år.

Senare kalendrar har därför kommit att nyttja både solen och månen för en fastare och mer exakt indelning av året. Den mest primitiva formen utgörs av den tidiga romerska kalendern, som tar årets början i vårdagjämningen och därefter räknar upp tio månader med 30 eller 31 dagar: martius, aprilis, maius, iunius, quintilis, sextilis, september, october, november, december, där månaderna fem till tio helt enkelt är talbaserade namn.

Dessa tio månader utgjorde 304 av årets dagar, och vintermånaderna fann man således ingen anledning att bestämma noggrannare. År -712 sägs kung Numa Pompilius ha reformerat kalendern genom att lägga till månaderna ianuaris och februaris i slutet av året, samtidigt som antalet dagar i månaderna varierades i endera 29 eller 31, en eftergift för vidskepelsen att udda tal är särskilt goda. Februaris fick dock 28 dagar som kontrast, kanske för religiösa ändamål.

Numa Pompilius kalender fick därmed 355 dagar istället för tidigare 304. För att hålla kalendern någorlunda i trim infogades emellanåt skottmånaden mensis intercalaris efter den 23 februaris, vilket gav ytterligare 22 dagar utöver februaris återstående fem. Religiösa skäl stod naturligtvis för komplikationerna, och även för att årets startpunkt småningom flyttades till ianuaris, efter den tvåhövdade guden Ianus, vars två ansiktshalvor delar tiden i förflutet och framtid.

År -45 träder Julius Caesar in i handlingen med ytterligare reformer av kalendern, som nu får 365 dagar, där antalet dagar i månaderna alternerar mellan 30 och 31, med undantag för februari, som alltjämt har 28 dagar, det vill säga den indelning som används in i vår tid. Februaris fick även en skottdag vart fjärde år för att kompensera för att året inte är exakt 365 dagar, i praktiken en dubblering av 24 februaris enligt tidigare mönster. Skottmånaden avskaffades samtidigt.

De 365.24 dagar som den nya kalendern gav året motsvarar en förskjutning om tre dagar per 400 år, vilket är anledningen till att vår Lussetradition, som ursprungligen firas vid vintersolståndet som en del av julfirandet, inträffar 13 december i kalendarisk mening. Flera sådana anomalier gav senare upphov till den gregorianska kalendern, som modifierade antalet skottdagar för att göra kalendern mer exakt.

Caesars gärning var här att frångå den religiösa kontexten för mer administrativa syften och göra kalendern mer pålitlig. Kalenderåret försköts även 67 dagar för att kompensera för tidigare slarv med skottmånader, varvid vintersolståndet kom att bestämmas till den 25 december, en del av upphovet och orsaken till julen. Den femte månaden quintilis ändrade sedermera namn till iulius (-43, efter Caesar), medan sextilis blev augustus (-7, efter kejsaren med samma namn). Därmed var dagens ordning i huvudsak fastställd.

Biskopen av Rom Gregorius XIII fann sig dock bekymrad över att den kristna påsken ständigt blev förskjuten i förhållande till den av första kyrkomötet i Nicaea år 325 fastställda ordningen att påsken ska infalla vid den första fullmånen efter den 21 mars, som det året utgjorde datum för vårdagjämningen. Vi observerar här att en förskjutning om tre dagar sedan kalenderns början redan förelåg år 325, och att romarnas bestämning av vintersolståndet till den 25 december i praktiken därför resulterade i att vintersolståndet inföll den 22 december enligt 325 års kalender.

Biskopen av Rom lät därför ge i uppdrag åt matematiker att fastställa en mer precis kalender, och resultatet kungjordes i bullan Inter gravissimas 24 febrauri 1582. Aloysius Lilius och Christopher Clavius är de egentliga arkitekterna bakom reformen, även om den bär påvens namn, med följande egenskaper:

1. korrektion av kalendern med hänsyn till en vårdagjämning bestämd till den 21 mars, vilket ger ett hopp om tio dagar med början den 5 oktober 1582 fram till den 15 oktober 1582 (Sverige antog den gregorianska kalendern 1753, vilket gav ett datumsprång om 11 dagar: 13 december blev då 24 december)
2. färre skottår för att göra kalendern mer precis, nämligen genom att hela århundraden ej delbara med 400, exempelvis åren 1700, 1800 och 1900, ej längre utgjorde skottår
3. skottdagen befästes till den 29 februari, vilket hade varit norm sedan högmedeltid

Året blev därmed 365.2425 dagar istället för tidigare 365.25, en skillnad om 20 ppm eller 0.02‰, vilket verkar obetydligt men som ger märkbart ackumulerad effekt över längre tid. Även den gregorianska kalendern är i detta avseende approximativ och i behov av manuell justering, och kan heller aldrig bli helt exakt då jordens rotation inte är konstant, men har ändå en för de flesta tillämpningar adekvat precision. Vetenskapligt exakta korrigeringar av referenstid (skottsekund) i atomklockor kan göras utan hänsyn till kalenderns betydligt grövre tidsformat.

Gregorius reform av kalendern var välbehövlig, men skedde förstås av fel orsak, nämligen omsorg om en viss religiös högtid, därtill godtyckligt bestämd till ett visst redan förskjutet datum. I grunden kvarstår även hela den romerska religiösa strukturen med romerska gudar och romersk talmystik. Nog skulle kalendern kunna raffineras än mer?

En kalenderreform kan emellertid inte avvika allt för mycket från invanda mönster, och måste också åtgärda de problem som är förknippade med den gregorianska kalendern. Till dessa problemfält hör:

• religiöst ursprung, exempelvis för årtalens bestämning relativt en religiös profet som merparten av mänskligheten inte har någon koppling till
• dagjämningspunkter och solstånd ur fas med månadernas början
• ojämna kvartal omfattande mellan 90 och 92 dagar
• oregelbunden distribution av dagar i månaderna
• svårigheter att beräkna veckodag för givet datum

Den fixpunkt mot vilken vi räknar årtal härstammar från Dionysius Exiguus, som behövde en referenspunkt för sina påsktabeller. Det julianska systemet att använda eradatering medelst konsuler var alldeles för otympligt, varför Dionysius år 525 etablerade systemet att datera kalenderår relativt den kristne profeten Jesus förmodade födelseår (i själva verket år -3, vilket ger upphov till en förunderlig rekursion). Sedan 800-talet är detta bruk etablerat i praktiken.

Här kan man omedelbart notera att det knappast låter sig göras att bestämma en ny fixpunkt, dels eftersom man svårligen kan rubba ett så inarbetat system, dels då det inte finns någon objektivt neutral kandidat för ett annat origo. Möjligen skulle man kunna nyttja holocen era som begrepp för att lättare kunna hantera årtal under mänsklighetens historia, men det är ju då bara fråga om en linjär förskjutning av samma system.

Istället behålls denna inarbetade datumreferens, men den avsakraliseras till formen vår tid eller allmän tid, så att den är neutral och inklusiv för hela mänskligheten. Samtidigt måste origo självt i form av år noll inkluderas för att ge systemet en mer matematiskt nöjaktig form, på samma sätt som i den vedertagna datumstandarden ISO 8601. Det innebär att årtal «före kristus» subtraheras med 1 och negeras för att få korrekt form: 46 «f.kr.» blir då -0045, eller -45 i löpande stil, alternativt uttryckt 45 f.v.t.

Den gregorianska kalendern är en renodlad solkalender, där indelningen i månader är en historisk rest; månens faser har inte längre något linjärt samband med kalendern. Men indelningen är samtidigt etablerad och ungefärligen i överensstämmelse med månens cykler, varför det finns anledning att behålla formen.

Man kan här notera att 365 dagar är svårt att dela på ett för ändamålet vettigt sätt, ty 365 = 5 x 73 ger ingen bra kalender. I och för sig är 365 = 13 x 28 + 1, varför man skulle kunna tänka sig 13 månader med exakt 28 dagar vardera, plus en extra dag, men det förutsätter då att man ändrar antalet månader till 13, som inte medger kvartalsindelning.

Istället har vi 365 = 4 x 91 + 1, med jämn kvartalsindelning i 91 dagar vadera. Detta kan åstadkommas med 31, 30 och 30 dagar för i varje kvartal ingående månad, vilket upprepas regelbundet för varje kvartal. Vidare är 91 = 7 x 13, varför varje kvartal har exakt 13 veckor (och varje år alltid 4 x 13 = 52 veckor). En extra dag förläggs efter årets sista dag den 30 december, och den saknar veckodagsbestämning för att göra kalendern ständig, det vill säga med samma utseende varje år. En likaledes veckodagslös skottdag skjuts i förekommande fall in efter den 30 juni, enligt redan etablerade principer.

Detta är i princip världskalendern, så som föreslagen av Elisabeth Achelis år 1930, i sin tur en modifikation av Gustave Armelins kalender från 1887 samt L.A. Grosclaudes kalender från 1910. Månadsnamn och veckodagsnamn kan här förstås ha nationell eller kulturell bestämning, och bör inte återges normativt i en standard, utan refereras på sedvanlig numerär form. Följande egenskaper föreslås här också för denna reformerade universalkalender:

• veckans första dag motsvarar vår måndag, vilket överensstämmer med ISO 8601 och majoriteten av världens uppfattning
• årets första dag är av samma skäl en måndag (motsvarande), liksom varje nytt kvartals första dag
• kalendern förskjuts så att vintersolståndet motsvarar den 1/1, det vill säga en normalisering av solståndens och dagjämningarnas datering (Marco Mastrofini framkastade tanken redan 1834)
• sekvensen 31, 30, 30 för månader i varje ingående kvartal är att föredra för att ge 31 december status som veckodagslös nyårsafton och 31 juni rollen som skottdag, ty i annat fall har vi irreguljära datum i form av den 32 juni respektive 32 december

Givet att kalendrar har reformerats tidigare i historien, erbjuder det inget principiellt motstånd att göra ännu en justering, denna gång i sekulär riktning. Motiven för tidigare reformer har numera ingen giltighet, samtidigt som behov finns av en värdeneutral global kalender. Religiösa invändningar mot en sådan reform saknar värde, då ingen religion kan tala för hela mänskligheten, och då religionen ändå använder sina egna liturgiska kalendrar för religiösa ändamål. Vidare används redan traditionella kalendrar, som exempelvis den kinesiska lunisolarkalendern, flitigt som komplement till den internationella administrativa kalendern.

Den universella kalender vi här skissar anger inga högtidsdagar eller särskilda dagar, med undantag för solstånden, dagjämningspunkterna, nyår och skottdagen, varför lokala och nationella kriterier avgör vilka kulturella eller andra tilldragelser som är föremål för firanden av olika slag. Här ser man för svenskt vidkommande förhoppningsvis en utveckling mot individuella ledighetskonton samt en grunduppsättning tämligen sekulära och politiskt neutrala helger i kalendern.

Tidigare försök att genomföra en sådan kalenderreform har stupat på religiöst motstånd, inte minst i det religiöst inpyrda USA. Men i takt med att sekularisering och globalisering vinner terräng ökar incitamentet för att standardisera en sådan enkel kalender, samtidigt som det religiösa motståndet blir mindre relevant. Det torde egentligen bara vara en tidsfråga innan det blir mer eller mindre självklart med en kalenderreform, för att den förenklar så oerhört mycket, inte minst för näringsliv och offentlig förvaltning.