Den tidiga människan som jagade och samlade i Afrikas skiftande terräng hade inga krävande behov av att kunna räkna. På sin höjd nyttjade man heltal i begränsad utsträckning för att hålla reda på fällda bytesdjur eller antal pärlor i ett halsband. I den mån man bedrev något slags primitiv handel i halvbofasta kustområden kunde man kanske även hantera aritmetiska operationer som addition och subtraktion.
Med bofastheten under jordbrukets början uppstår behov av att hålla lager och fördela. Av nödvändighet utvecklar man kognitiva modeller för tal, men de saknar abstraktion. När man i tidiga skrifter tecknar ned tio öl och tio bröd, är siffran tio inte gemensam, utan olika beroende på vilket föremål det gäller. Men ganska snart utvecklar man oberoende abstrakta modeller för kvantiteter, det vill säga tal.
De första talen i människans tjänst är de naturliga talen N = {1, 2, 3, …}, och de första operationerna är addition och subtraktion. Någon given bas finns inte, utan man använder oktala, decimala, duodecimala, vigesimala och sexagesimala system beroende av tillämpning. Det är en praktisk matematik som smörjer en begynnande industri och handel.
Med jordbruket sker även en stratifiering av samhället, och inte alla behöver kröka rygg på fältet. En intelligentisa växer fram för att administrera samhället, varav en del har möjlighet att fundera över naturen. En tidig astronomi formas och integreras i såväl jordbruket som i den framväxande organiserade religionen – man håller koll på himlakropparnas rörelser, och noterar dessa med siffror.
De första jordbrukarna bodde i underjordiska stenhus, vilka senare antog en mer ytlig dimension och sedermera gav upphov till allt större konstruktioner för gemensamt bruk, till exempel religiösa samlingssalar. Arkitekturen bortanför den fyrkantiga bostaden kräver planering och konstruktion, varvid de (positiva) rationella talen Q = {y/x : y, x ∈ N} avtäcks. Vill man bygga pyramider kommer bråktalen till sin rätt, och operationerna multiplikation respektive division tillkommer.
Nog kände man tidigt till underskott i bytesbalans, men någon mer formaliserad behandling av negativa tal förekom inte förrän i Kina runt år -100. På samma sätt förstod man visserligen begreppet ingenting, men i formell mening dyker talet noll inte upp förrän år 628, då indiska matematiker uppfinner notationen. Därmed har vi mängden av heltal Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} samt den fulla mängden av rationella tal Q = {y/x : y, x ∈ Z, x ≠ 0}.
Irrationella tal, det vill säga sådana tal som inte kan uttryckas på bråkform (till exempel √2), var kända i Indien vid -700 och något senare i antikens Grekland, men det skulle dröja ända till 1600-talet innan Descartes formellt definierade de reella talen R, det vill säga såväl rationella som irrationella tal, eller alla tal överhuvudtaget, som 0.1, π, e och -231. Åtminstone ansåg man i vetenskapens linda att detta var den fulla existensen av tal.
I det muslimska imperiet, som under medeltiden förvaltade det klassiska arvet efter Rom och Grekland, utvecklade man algebra och tampades därvid med tal som inte lät sig infogas i de gängse. Vill man lösa ekvationen x² + 1 = 0 har man som enda lösning x = ±√-1, ett tal som man inte förstod innebörden av.
Det gjorde man till att börja med inte heller i renässansens Europa, men småningom formaliserades de komplexa talen C = {x + iy: x, y ∈ R, i = √-1} under 1700-talet. Komplexa tal beskriver egentligen par av tal i två dimensioner, efter varsin axel. Den imaginära enheten i möjliggör att alla polynomekvationer alltid har en lösning i systemet C, och talmängden anses vara den naturliga i många tillämpningar av fysik.
Man kan här definiera de beskrivna talmängderna som delmängder av varandra, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, och de tidigaste nyttjade mängderna är således specialfall av de komplexa talen. Komplexa tal u, v, w ∈ C skiljer sig i övrigt inte från reella tal, utan har samma operationer (+, -, ·, ÷) och egenskaper. Speciellt har man distributivitet u(v + w) = uv + uw, associativitet (uv)w = u(vw) samt kommutativitet uv = vu, det vi brukar kalla normala räkneregler.
Men man kan gå vidare, vilket man gjorde 1843. Hyperkomplexa tal i form av kvaternioner H = {a + bi + cj + dk} kan då definieras i analogi med C, men nu med tre separata enheter i, j och k istället för en. Egenskaperna för dessa enheter (enhetsvektorer) är i² = j² = k² = ijk = -1, och i övrigt fungerar kvaternioner på samma sätt som komplexa tal, med undantag för kommutativitet: för tal u, v ∈ H gäller i allmänhet att u, v inte är kommutativa, uv ≠ vu. Vi har här förlorat en egenskap när vi har höjt oss till ett fyrdimensionellt rum, men i gengäld kan systemet beskriva speciell relativitetsteori på ett elegant sätt.
Om de rella talen R är en endimensionell representation med skalären 1 som enda enhetsvektor, utgör de komplexa talen C en tvådimensionell representation med enhetsvektorerna (1, i), och kvaternionerna H en fyrdimensionell representation med enhetsvektorerna (1, i, j, k). Det är alltså utvidgningar till högre dimension.
Ytterligare ett steg upp ges av oktonionerna O, med enhetsvektorer (1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇) i ett åttadimensionellt rum. Systemet fungerar som kvaternionerna, men med en mer komplicerad multiplikationstabell för enhetsvektorerna samt med förlorad associativitet: för u, v, w ∈ O gäller i allmänhet (uv)w ≠ u(vw).
Högre än så kommer vi inte, och systemen R, C, H och O är de enda existerande divisionsalgebror, det vill säga algebror i vilka de gängse operationerna (+, -, ·, ÷) kan tillämpas. Vi har här att R ⊂ C ⊂ H ⊂ O, det vill säga att enklare system är delmängder av mer komplexa. Har det någon fysikalisk innebörd, givet att såväl C som H kommit att nyttjas i fysiska tillämpningar?
Möjligen, men vi ger oss här ut på mark som inte är vältrampad och som i slutändan kanske bara är en form av avancerad numerologi utan särskild innebörd. Men det visar sig att oktonionerna O kan nyttjas för att beskriva partikelfysikens standardmodell (SM) med talteoretiska begrepp, och ut faller helt naturligt många av de egenskaper som är förknippade med elementarpartiklar.
Idén är inte ny, utan har funnits i marginalen sedan 1970-talet. På senare tid har kanadensiskan Cohl Furey uppmärksammats för en vidareutveckling som ger hela SM:s struktur som en konsekvens av stegoperatorer i ett särskilt preparerat 64-dimensionellt rum C⨂H⨂O. Härledningen ger inget nytt, men skönheten och elegansen i framställningen är så sexig att man inte bara kan avfärda den rakt av, till exempel att partiklar (kvarkar och leptoner) med antipartiklar i tre generationer med laddningar ±{0, ⅓, ⅓, ⅓, ⅔, ⅔, ⅔, 1} följer som kvantiserade egenvärden i modellen.
Det är en gammal uppfattning att de bästa fysikaliska modellerna är behäftade med matematisk skönhet, även om man inte kan leda i bevis att det finns något samband mellan estetik och naturens matematiska beskrivning; det är en empirisk erfarenhet. Partikelfysiken har istället satsat alla sina kort på att smälla partiklar i allt högre energier, men har inte rört sig en millimeter bortanför SM, som därför får antas vara i huvudsak komplett.
Gravitation, mörk materia och en del andra fenomen ryms för närvarande inte i modellen, men det kanske är så att dessa pusselbitar kan falla ut som resultat av en mer utvecklad framställning i C⨂H⨂O. Det vore i så fall inte första gången som matematik föregår experiment, utan det har i det närmaste varit regel (relativitetsteori, kvarkar är två exempel). Den här häftiga donnan kommer nog aldrig att få vidare cred för sina manipulationer, men jag tror att hon har rätt i essens, att en större sanning ligger förborgad i dessa högre algebraiska system.
