Kategori: Matematik

Kategorier
Kultur Matematik Vetenskap

π

Fjortonde mars utgör av hävd internationella pi-dagen, eftersom konstanten π ≈ 3.14 och datumet i fråga antar den formen med anglosfära imperieenheter (3/14). Men även i en ISO-kontext låter sig formatet nyttjas, om man bortser från det inledande årtalet och den obligatoriska tvåställigheten: 03-14.

Varför π, och inte e, i, √2 eller φ? π är trots allt en ganska banal konstant, som råkar uttrycka förhållandet mellan en cirkels omkrets (perimeter) och diameter.

Å andra sidan kan man förstå evenemanget som en kampanj för att marknadsföra matematik, och då passar det allom bekanta π bättre än mer svårgreppbara konstanter. Mycket riktigt har firandet sedermera lagts till den ständigt växande floran av FN-dagar under namnet internationella matematikdagen. En ordlek på engelska ger också att man får äta paj dagen till ära, vilket är nog så viktigt.

Men π är så mycket mer än ett enkelt förhållande mellan cirkelns olika längdmått, och förekommer ymnigt i såväl matematik som tillämpningar i fysik och andra naturvetenskaper. Ett i förstone bisarrt resultat ger till exempel att ett antal fundamentala konstanter kan sammanlänkas med Eulers formel eiπ + 1 = 0.

π kan även uttryckas som ett antal oändliga serier, till exempel π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – … = ∑(-1)k · 1/(2k + 1), som är identiskt med tan-11. Mer svårförståelig är expansionen π²/6 = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + … = ∑1/k², ty här finns i förstone inga cirklar involverade – se nedanstående video.

Konstanten är vidare av talteoretiskt intresse, då det är ett irrationellt och ett transcendentalt tal. Det innebär att π ≠ a/b för några a, b ∈ 𝐍, och att π inte är en rot till ett polynom med rationella koefficienter. Det är inget märkvärdigt med det, då de flesta tal är av den karaktären – men det ger en talteoretisk bestämning av π.

I kulturhistorisk mening är π den första icketriviala matematiska konstant som nyttjas i de första egyptiska och babyloniska civilisationerna, möjligen i konkurrens med √2. Grekerna, som praktiserade matematik som en kult, fann ett sätt att bestämma konstantens värde med godtyckligt antal decimaler, medan ingenjörerna i Egypten och Sumer hade ett mer praktiskt intresse och sålunda avrundade till 22/7 och 25/8 med flera varianter. Än i denna dag används kort och gott heltalet 3 i vissa praktiska tillämpningar.

I kvantmekaniken uppträder π i Heisenbergs osäkerhetsrelation ∆x·∆p ≥ ħ = h/2π, vilket i klartext betyder att produkten av respektive standardavvikelse för moment p och position x alltid överstiger Plancks konstant h genom 2π. π dyker upp i detta sammanhang för att det rör sig om en statistisk normalfördelning, vars täthetsfunktion råkar innehålla uttrycket √(2π) och därmed har anknytning till cirkeln.

Även i Maxwells ekvationer för elektromagnetism uppträder π, bland annat genom den magnetiska konstanten μ₀ = 4π·10-7, för vilken en rad intressanta samband finns. Bland annat kan ljusets hastighet c uttryckas som 1/c² = ε₀μ₀, där ε₀ är den elektriska konstanten.

Faktorer av 4π i elektromekaniken beror delvis på vilka enheter man använder, och sedan SI-systemet omdefinierades för ett par år sedan förekommer inte längre π explicit för den magnetiska konstanten. Men i grunden finns förstås en cirkel, eller rättare sagt en sfär, i detta fall runt en en laddad punktpartikel, som efter ytintegrering leder fram till ett uttryck med 4π – det rör sig om en area för en sfär, enligt den kända formeln A = 4πr².

Sfärer och besläktade kroppar förekommer inte bara i den subatomära världen, utan även i den makroskopiska. Coulombs elektrostatiska lag och Newtons gravitationslag är som bekant strukturellt identiska, och den senare har en mer exakt efterföljare i Einsteins allmänna relativitetsteori, vars fältekvationer givetvis innehåller π: R𝜇𝜈 – ½Rg𝜇𝜈 = 8πGT𝜇𝜈.

π förekommer således i de mest fundamentala av fysikaliska teorier, och är ett uttryck för att vi lever i en cirkulär eller snarare tredimensionellt sfärisk värld med himlakroppar och andra fysikaliska entiteter som antar runda former enligt de lagar som bestämmer universums karaktär. Fyrkanter med √2 som rättesnöre finns bara i människans pyramidala värld, medan naturen strävar efter sfärisk harmoni under π.

Kategorier
Filosofi Kultur Matematik Vetenskap

Reductio ad absurdum

Första, andra, tredje, fjärde. I språket ligger en antydan om att förhistoriska populationer inte hade något större behov av fler storheter än ett, två och många. Kardinaltalen ett och två skiljer sig etymologiskt från ordningstalen första och andra, medan de därefter följs åt i tre/tredje, fyra/fjärde och så vidare.

Vårt svenska språk är en utveckling av urnordiska, urgermanska och urindoeuropeiska i succession, vilket tar oss fem tusen år tillbaka i tiden. Säkerligen hade man även i den indoeuropeiska jamnakulturen utvecklat behov av och förmåga att handskas med större tal, bland annat för att hålla reda på boskap, men det nedärvda språket hade bevarat en äldre ordning.

Aboriginier, pirahã och många andra nutida inkarnationer av jägare–samlare saknar alltjämt ord för tal högre än två, och om behovet uppstår att räkna större kvantiteter nyttjar man helt enkelt bas 2 i primitiv mening för att bestämma antal, det vill säga två par istället för fyra.

Behovet att mer exakt kvantifiera mängder uppstår i de första civilisationerna i Sumer och Egypten, där man först använder olika benämningar för tal beroende på vad det är man räknar. Tio i tio öl eller tio bröd har således olika benämningar. Abstrakt utveckling i renodlade tal är en senare konsekvens, vilket kan verka svårförståeligt för moderna människor.

Människan har således strosat omkring i över 300 000 år utan att använda den matematiska förmåga som hjärnan erbjuder. Först när det finns behov av att lagerföra och fördela uppstår numerisk abstraktion, och först när det finns behov av att planera byggnation uppstår studium av relationer mellan tal, det vill säga aritmetik. Aritmetiken består av heltal och rationella tal, och man använder (bland annat) bas 60 (= 2·2·3·5) för att få enklare divisionsberäkningar.

Sumerer, babylonier och egyptier utvecklade således geometriska och aritmetiska samband, som emellanåt antog en religiös anstrykning. Exempelvis pyramider är byggda med vissa proportioner som vittnar om en vördnad för sådana samband. Matematiska texter i Babylon och Egypten (runt -1900) visar att man bedrev undervisning i att finna pythagoreiska tripplar och lösningar på geometriska problem, inklusive volymberäkningar.

Matematik i egentlig mening uppstår vid -530 med pythagoréerna, en sekt som nyttjade matematik som ett heligt verktyg för att finna ordning i kosmos. För pythagoréerna kunde allt beskrivas i termer av heltal och rationella tal (heltal delade med heltal), som harmoniska proportioner i musik eller perfekta geometriska kroppar.

Man nyttjade överhuvudtaget inte siffror som den mer verklighetsanknutna samtida grekiska palatskulturens aritmetik, men det var kanske också därför man kunde utveckla ett renodlat studium av matematiken som en självständig gren – μάθημα (mathema) betyder lektion eller det som ska läras.

Pythagoréerna tog således arvet från Sumer, Babylon och Egypten till en ny nivå, med sträng bevisföring som ett element. Pythagoras sats användes i praktisk mening över tusen år före Pythagoras, men det är med pythagoréerna den första allmänna framställningen föreligger, även om ett strikt bevis sker först med Euklides ett par hundra år senare.

En rätvinklig triangel med sidorna a och b respektive hypotenusan c uppvisar således sambandet a² + b² = c², som är enkelt att bevisa geometriskt. a = 3, b = 4 och c = 5 är ett numeriskt exempel med heltal, och man kan visa att rationella lösningar är enkla multiplar av heltalslösningarna.

Om vi istället sätter a = b = 1, vad blir då c? Pythagoréen Hippasos undersökte detta fall närmare (runt -450), och fann då att c inte kan uttryckas som ett rationellt tal p/q. För att visa detta antar vi att c = p/q, där heltalen p och q saknar gemensamma delare, varvid p²/q² = c² = 2 enligt Pythagoras sats.

Vi har då att p² = 2q², vilket innebär att p² är delbart med 2, ett jämnt tal. Det kan enkelt ledas i bevis att även p då är delbart med 2. Vi kan således skriva p = 2r, som vi sätter in i ekvationen p² = (2r)² = 4r² = 2q². Men här kan vi dela båda leden med 2, varvid vi erhåller 2r² = q², vilket medför att även q² är ett jämnt tal delbart med 2, och därmed att q är delbart med 2.

Därmed har vi en motsägelse, eftersom p och q antogs sakna gemensamma delare. Vi har just visat att de har den gemensamma delaren 2 under det givna antagandet, och därmed är antagandet falskt. Reductio ad absurdum och √2 är irrationellt. Myten har att detta störde heltalsmystikerna bland pythagoréerna så mycket att man lät dränka Hippasos i havet.

Man observerar här att 2 är ett primtal, och man kan med ungefär samma metod (plus aritmetikens fundamentalsats) visa att kvadratroten ur varje primtal 3, 5, 7, 11… är irrationell, och vidare att kvadratroten ur varje icke perfekt kvadrat är irrationell. Dessa samlade erfarenheter från pythagoréerna och annan grekisk matematik syntetiserades småningom runt -300 av Euklides i Στοιχεῖα (Stoicheia), mer känd som Elementa, den mest betydelsefulla bok som någonsin har skrivits och som ligger till grund för all senare matematik.

Pythagoréerna influerade även Platon och därmed hela den västerländska filosofin och den senare vetenskapen. Arvet från antikens Grekland är så ohyggligt tungt att det förefaller direkt obegripligt att man i vissa kretsar vill avskaffa undervisning i antikens historia.

I likhet med annan idéhistoriskt viktig matematik lär man i skolan faktiskt inte ut hur kvadratroten ur 2 är irrationell, trots det enkla beviset, utan man begränsar sig till att mekaniskt nyttja Pythagoras sats, vilket är mer i analogi med babylonisk och egyptisk undervisning. Som om vi hade något praktiskt behov av att räkna på trianglar.

I själva verket borde man i åtminstone gymnasiet leda i bevis att kvadratroten ur ett primtal är irrationell, som en nyttig övning i metoder som reductio ad absurdum och induktion, och för att ge en grund i talteori för vidare studier. Tyvärr finns inte en enda matematiklärare i grundskola eller gymnasium som (fritt) kan härleda att √3 är ett irrationellt tal – kan du?

Kategorier
Filosofi Kultur Matematik Vetenskap

Nedslag i matematikhistorien

Ekvationen 2x³ – 3x² – 3x + 2 = 0 löser man numera vanligtvis genom att konsultera en miniräknare eller en dator, eller så ser man direkt att x = -1 och x = 2 är lösningar, varur den tredje roten x = ½ erhålls genom en smula algebraisk manipulation.

Problemet är i sig inte så intressant, utan om det uppstår i någon tillämpning är man mer intresserad av det numeriska resultatet. Det finns ingen som helst praktisk nytta av att kunna eller härleda lösningsformler för en tredjegradsekvation.

Men samma sak gäller för andragradsekvationen ax² + bx + c = 0, som så gott som alla någon gång har sett och löst i skolan. Att man ändå härleder formeln och övar i att nyttja den beror på att man vill demonstrera principer som kan nyttjas för den som önskar studera vidare på högre nivå. För övriga faller den nog i glömska.

Polynomekvationer har dock en idéhistorisk bakgrund av intresse, för det är med dem matematiken tar sina första stapplande steg under renässansen. Som bekant förstördes antikens lärdomstradition i grunden när kristendom etablerades som teokrati efter Roms fall, och inget av matematiskt eller vetenskapligt intresse emanerade från Europa efter kristenhetens mord på Hypatia 415 förrän Fibonacci 1202 etablerade hinduarabiska siffror och arabisk matematik från de då ledande kalifaten.

Algebra (الجبر eller al-jabr, återförening) är således en disciplin som uppstod under islams guldålder, och man tampades därvid med polynomekvationer. De praktiska motsvarigheterna till sådana ekvationer var kända sedan de första civilisationerna, och det är själva metoden med manipulation av variabler som är nymodigheten.

Fibonacci kunde under 1200-talet härleda numeriska lösningar för tredjegradsekvationer, men det skulle dröja ytterligare trehundra år innan algebraiska lösningar togs fram. Italienarna Scipione del Ferro och Niccolò Tartaglia tävlade om den intellektuella äran att ge en allmän lösning, och båda fann en metod att lösa den reducerade tredjegradsekvationen x³ + px + q = 0. Resultatet publicerades dock först av Gerolamo Cardano 1545 i verket Ars Magna.

Problemet för tidens matematiker var att lösningar till sådana ekvationer kan vara såväl negativa, ett begrepp som då inte var allmänt känt (det accepterades först under 1700-talet), som komplexa, en nymodighet som utvecklades just tack vare studiet av polynomekvationer. Cardano använde komplexa tal utan att förstå innebörden, och de fick en förklaring först 1572 av Rafael Bombelli.

Låt oss först studera andragradsekvationen ax² + bx + c = 0, som efter division med a fås på sin reducerade form x² + px + q = 0. Låt oss skriva detta som (x + h)² + k, vilket kan utvecklas som x² + 2hx + (h² + k), ur vilket följer att p = 2h och q = h² + k. Manipulation ger att (1) h = p/2 och (2) k = q – h² = q – p²/4.

Givet (x + h)² + k = 0 har vi att (x + h)² = -k och därmed x + h = ±√-k eller x = -h ±√-k. Substituera (1) och (2) ovan, och vi får x = -h ±√-k = -p/2 ±√[p²/4 – q], vilket är den allmänna lösningen. Vi ser att om q > p²/4 har vi komplexa lösningar.

Motsvarande tredjegradsekvation kan direkt skrivas på reducerad form x³ + ax² + bx + c = 0, men man kan genom variabelsubstitution trolla bort den kvadratiska termen. Vi vill alltså erhålla x³ + px + q = 0, och vi sätter x = u + v: (u + v)³ + p(u + v) + q = 0, vilket efter utveckling ger u³ + 3u²v + 3uv² + v³ + p(u + v) + q = u³ + 3uv(u + v) + v³ + p(u + v) + q = u³ + (3uv + p)(u + v) + v³ + q = 0.

Cardanos – eller snarare Tartaglias och del Ferros – metod är nu att kräva 3uv + p = 0, vilket ger u³ + v³ + q = 0. Då är (1) u³ + v³ = -q och uv = -p/3 eller (2) u³v³ = -p³/27, och efter manipulation v³ = -q – u³. Infoga detta i (2): u³v³ = u³(-q -u³) = -p³/27 eller (u³)² + qu³ – p³/27 = 0.

Detta är en andragradsekvation i u³, med lösningen u³ = -q/2 ± √[q²/4 + p³/27] enligt ovan. Substitution ger v³ = -q – u³ = -q/2 ∓ √[q²/4 + p³/27], det vill säga samma lösningsmängd, och u respektive v skiljer sig enbart i ± för andra termen. Vi får därför att x = u + v = ∛u³ + ∛v³ = ∛{-q/2 + √[q²/4 + p³/27]} + ∛{-q/2 – √[q²/4 + p³/27]}, vilket är en av de tre rötterna.

Härledningen är marginellt mer komplicerad än för andragradsekvationen, och borde vara en självklar ingredient i gymnasiets matematik, dels av idéhistoriska skäl, dels som en nyttig övning i algebra. Fast numera kanske man stannar vid en linjär förstagradsekvation i gymnasiet, och lämnar andragradsekvationen till teknisk högskola… vad vet jag.

Studiet leder småningom in på modern abstrakt algebra, som är av betydligt mer intresse. Fjärdegradsekvationen kan lösas med ungefär samma metod och aningen krångligare formler, men för femte och högre grad existerar ingen allmän lösning, vilket bevisades av Abel 1824 och småningom ledde fram till galoisteori – från banal algebra till notoriskt svår och abstrakt materia.

Det man kan notera här är den exponentiella tillväxten i utvecklingen. Från Fibonaccis senmedeltid 1202 till Cardanos renässans 1545 skiljer trehundra år av smärtsamt långsam utveckling, och det är närmast ofattbart att mänskligheten inte hade kommit längre för femhundra år sedan.

Å andra sidan är det lika ofattbart hur utvecklingen därefter har accelererat och gett upphov till vår tids massivt kunskapstäta samhälle. Det ger perspektiv på tillvaron att se tillbaka i den matematiska historien och uppleva hur svindlande snabbt förändringarna har skett.

Kategorier
Matematik Vetenskap

Matematisk skönhet

Den tidiga människan som jagade och samlade i Afrikas skiftande terräng hade inga krävande behov av att kunna räkna. På sin höjd nyttjade man heltal i begränsad utsträckning för att hålla reda på fällda bytesdjur eller antal pärlor i ett halsband. I den mån man bedrev något slags primitiv handel i halvbofasta kustområden kunde man kanske även hantera aritmetiska operationer som addition och subtraktion.

Med bofastheten under jordbrukets början uppstår behov av att hålla lager och fördela. Av nödvändighet utvecklar man kognitiva modeller för tal, men de saknar abstraktion. När man i tidiga skrifter tecknar ned tio öl och tio bröd, är siffran tio inte gemensam, utan olika beroende på vilket föremål det gäller. Men ganska snart utvecklar man oberoende abstrakta modeller för kvantiteter, det vill säga tal.

De första talen i människans tjänst är de naturliga talen N = {1, 2, 3, …}, och de första operationerna är addition och subtraktion. Någon given bas finns inte, utan man använder oktala, decimala, duodecimala, vigesimala och sexagesimala system beroende av tillämpning. Det är en praktisk matematik som smörjer en begynnande industri och handel.

Med jordbruket sker även en stratifiering av samhället, och inte alla behöver kröka rygg på fältet. En intelligentisa växer fram för att administrera samhället, varav en del har möjlighet att fundera över naturen. En tidig astronomi formas och integreras i såväl jordbruket som i den framväxande organiserade religionen – man håller koll på himlakropparnas rörelser, och noterar dessa med siffror.

De första jordbrukarna bodde i underjordiska stenhus, vilka senare antog en mer ytlig dimension och sedermera gav upphov till allt större konstruktioner för gemensamt bruk, till exempel religiösa samlingssalar. Arkitekturen bortanför den fyrkantiga bostaden kräver planering och konstruktion, varvid de (positiva) rationella talen Q = {y/x : y, x ∈ N} avtäcks. Vill man bygga pyramider kommer bråktalen till sin rätt, och operationerna multiplikation respektive division tillkommer.

Nog kände man tidigt till underskott i bytesbalans, men någon mer formaliserad behandling av negativa tal förekom inte förrän i Kina runt år -100. På samma sätt förstod man visserligen begreppet ingenting, men i formell mening dyker talet noll inte upp förrän år 628, då indiska matematiker uppfinner notationen. Därmed har vi mängden av heltal Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} samt den fulla mängden av rationella tal Q = {y/x : y, x ∈ Z, x ≠ 0}.

Irrationella tal, det vill säga sådana tal som inte kan uttryckas på bråkform (till exempel √2), var kända i Indien vid -700 och något senare i antikens Grekland, men det skulle dröja ända till 1600-talet innan Descartes formellt definierade de reella talen R, det vill säga såväl rationella som irrationella tal, eller alla tal överhuvudtaget, som 0.1, π, e och -231. Åtminstone ansåg man i vetenskapens linda att detta var den fulla existensen av tal.

I det muslimska imperiet, som under medeltiden förvaltade det klassiska arvet efter Rom och Grekland, utvecklade man algebra och tampades därvid med tal som inte lät sig infogas i de gängse. Vill man lösa ekvationen x² + 1 = 0 har man som enda lösning x = ±√-1, ett tal som man inte förstod innebörden av.

Det gjorde man till att börja med inte heller i renässansens Europa, men småningom formaliserades de komplexa talen C = {x + iy: x, y ∈ R, i = √-1} under 1700-talet. Komplexa tal beskriver egentligen par av tal i två dimensioner, efter varsin axel. Den imaginära enheten i möjliggör att alla polynomekvationer alltid har en lösning i systemet C, och talmängden anses vara den naturliga i många tillämpningar av fysik.

Man kan här definiera de beskrivna talmängderna som delmängder av varandra, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, och de tidigaste nyttjade mängderna är således specialfall av de komplexa talen. Komplexa tal u, v, w ∈ C skiljer sig i övrigt inte från reella tal, utan har samma operationer (+, -, ·, ÷) och egenskaper. Speciellt har man distributivitet u(v + w) = uv + uw, associativitet (uv)w = u(vw) samt kommutativitet uv = vu, det vi brukar kalla normala räkneregler.

Men man kan gå vidare, vilket man gjorde 1843. Hyperkomplexa tal i form av kvaternioner H = {a + bi + cj + dk} kan då definieras i analogi med C, men nu med tre separata enheter i, j och k istället för en. Egenskaperna för dessa enheter (enhetsvektorer) är i² = j² = k² = ijk = -1, och i övrigt fungerar kvaternioner på samma sätt som komplexa tal, med undantag för kommutativitet: för tal u, v ∈ H gäller i allmänhet att u, v inte är kommutativa, uv ≠ vu. Vi har här förlorat en egenskap när vi har höjt oss till ett fyrdimensionellt rum, men i gengäld kan systemet beskriva speciell relativitetsteori på ett elegant sätt.

Om de rella talen R är en endimensionell representation med skalären 1 som enda enhetsvektor, utgör de komplexa talen C en tvådimensionell representation med enhetsvektorerna (1, i), och kvaternionerna H en fyrdimensionell representation med enhetsvektorerna (1, i, j, k). Det är alltså utvidgningar till högre dimension.

Ytterligare ett steg upp ges av oktonionerna O, med enhetsvektorer (1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇) i ett åttadimensionellt rum. Systemet fungerar som kvaternionerna, men med en mer komplicerad multiplikationstabell för enhetsvektorerna samt med förlorad associativitet: för u, v, w ∈ O gäller i allmänhet (uv)w ≠ u(vw).

Högre än så kommer vi inte, och systemen R, C, H och O är de enda existerande divisionsalgebror, det vill säga algebror i vilka de gängse operationerna (+, -, ·, ÷) kan tillämpas. Vi har här att R ⊂ C ⊂ H ⊂ O, det vill säga att enklare system är delmängder av mer komplexa. Har det någon fysikalisk innebörd, givet att såväl C som H kommit att nyttjas i fysiska tillämpningar?

Möjligen, men vi ger oss här ut på mark som inte är vältrampad och som i slutändan kanske bara är en form av avancerad numerologi utan särskild innebörd. Men det visar sig att oktonionerna O kan nyttjas för att beskriva partikelfysikens standardmodell (SM) med talteoretiska begrepp, och ut faller helt naturligt många av de egenskaper som är förknippade med elementarpartiklar.

Idén är inte ny, utan har funnits i marginalen sedan 1970-talet. På senare tid har kanadensiskan Cohl Furey uppmärksammats för en vidareutveckling som ger hela SM:s struktur som en konsekvens av stegoperatorer i ett särskilt preparerat 64-dimensionellt rum C⨂H⨂O. Härledningen ger inget nytt, men skönheten och elegansen i framställningen är så sexig att man inte bara kan avfärda den rakt av, till exempel att partiklar (kvarkar och leptoner) med antipartiklar i tre generationer med laddningar ±{0, ⅓, ⅓, ⅓, ⅔, ⅔, ⅔, 1} följer som kvantiserade egenvärden i modellen.

Det är en gammal uppfattning att de bästa fysikaliska modellerna är behäftade med matematisk skönhet, även om man inte kan leda i bevis att det finns något samband mellan estetik och naturens matematiska beskrivning; det är en empirisk erfarenhet. Partikelfysiken har istället satsat alla sina kort på att smälla partiklar i allt högre energier, men har inte rört sig en millimeter bortanför SM, som därför får antas vara i huvudsak komplett.

Gravitation, mörk materia och en del andra fenomen ryms för närvarande inte i modellen, men det kanske är så att dessa pusselbitar kan falla ut som resultat av en mer utvecklad framställning i C⨂H⨂O. Det vore i så fall inte första gången som matematik föregår experiment, utan det har i det närmaste varit regel (relativitetsteori, kvarkar är två exempel). Den här häftiga donnan kommer nog aldrig att få vidare cred för sina manipulationer, men jag tror att hon har rätt i essens, att en större sanning ligger förborgad i dessa högre algebraiska system.

Cohl Furey: Quarks and leptons as ideals of the Clifford algebra CL(6) (11/14)
Kategorier
Foto Matematik Vetenskap

Gyllene snittet i fotografi

Ta en fyrkant med sidan a enheter lång. Förläng fyrkanten med en rektangel med sidor a respektive b enheter långa. Då bildas en rektangel med sidor a respektive a + b enheter långa. a och b kan vara vilka positiva reella tal som helst.

Betrakta nu kvoten av den större rektangelns långsida a + b genom dess kortsida a, det vill säga (a + b)/a. Om detta uttryck är ekvivalent med kvoten av den mindre rektangelns sidor a respektive b, det vill säga a/b, har vi vad som kallas gyllene snittet: (a + b)/a = a/b.

Kvoten a/b kallar vi 𝜑. Vi har då 𝜑 = a/b = (a + b)/a = 1 + b/a = 1 + 1/𝜑, det vill säga 𝜑 = 1 + 1/𝜑. Förläng med 𝜑 och arrangera om: 𝜑² – 𝜑 – 1 = 0, en ekvation som har den positiva lösningen 𝜑 = ½(1 + √5) ≈ 1.618…

En nedskalad kopia av den stora rektangeln kan nu placeras i den mindre, och förfarandet kan upprepas ad infinitum. I den struktur som uppstår kan man beskriva en spiral som täcker de ingående fyrkanternas hörn, och spiralen kallas mycket riktigt den gyllene spiralen.

Gyllene spiral

Än sen, säger du, som hatade matte i plugget. Det är naturligtvis vilket som helst av en fantasiljon underliga matematiska samband, men det är ett som råkar ha en intim koppling till proportioner, harmonier och skönhet i såväl naturen som hos människan.

Ta till exempel talen 1 och 2, och addera dessa, med resultat 3. Addera resultatet 3 med föregående tal 2, och vi erhåller 5. Upprepa: 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, och så vidare. Vi har här en rekursiv formel f(n) = f(n – 1) + f(n – 2), med f(0) = 0 samt f(1) = 1. Då n → ∞ går f(n + 1)/f(n) mot 𝜑 = ½(1 + √5), det gyllene snittet. f(10)/f(9) är således 55/34 ≈ 1.6178, vilket är en god approximation.

Det visar sig nu att denna talserie 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…, som kallas fibonacciserien, ofta uppträder i naturen. Exempelvis utgör antalet kronblad hos blommor vanligen ett fibonaccinummer, och hur växtblad är arrangerade i spiraler beror på samma sätt ofta på fibonaccitalen. Även DNA har fibonacciegenskaper. Sambandet är inte universellt, men är så frekvent att det har en viss betydelse för hur naturen är formad, och därmed också för hur vi uppfattar skönhet.

Vår mentala konstruktion av skönhet är nämligen emulerad av naturens beskaffenhet, och vi är präglade att uppfatta dessa proportioner och samband som just sköna. Därför uppskattar vi också dessa proportioner i överförd betydelse, exempelvis i hur byggnader är konstruerade eller hur målningar är komponerade. Det rör sig således inte om inbillad talmystik, utan om en inneboende egenskap hos människan.

Spiralfokus

Renässansens mästare nyttjade ofta gyllene snittet i konsten, och proportionen har fortsatt att utöva inflytande in i modern tid. Men medan renässansen såg snittet som «gudomligt», bör vi se det som en tumregel, som en grundregel för hur man komponerar en framställning, till exempel ett fotografi. Regler är till för att brytas, och det går inte att generellt förhålla sig slaviskt till sådana proportioner.

Gyllene snittet i foto

Men ta fram dina bästa bilder, och gör en analys av kompositionen med avseende på gyllene snittet. Sannolikheten är stor att proportionen är någorlunda uppfylld för dessa bilder, medan dina mer misslyckade bilder förmodligen uppvisar motsatsen.

Så här fungerar det i praktiken. Rektangeln ovan kan speglas och roteras, så att man får en naturlig avgränsning i ett asymmetriskt rutnät om nio rektanglar. De fyra rektanglarna i hörnen motsvarar gyllene snittet, medan övriga är vad som återstår som rest. Rutnätet är markerat i gult i exempelfotografierna.

Ibland är fokus inte på ansiktet

I rutnätet kan man definiera en fokuspunkt genom att ta en diagonal genom hela långsidan av bilden, och sedan korsa den med en linje som går från kortsidans hörn och skär rutnätets första kvadrant i övre vänstra hörnet. Diagonallinjerna är markerade i blått. Slutligen har vi en rödfärgad spiral som motsvarar den gyllene spiralen för ett rutnät komponerat av gyllene snittet.

Fokus i diagonalernas korsning, spiralen följer objektet

Moderna kameror har vanligen ett mer symmetriskt rutnät som stöd för komposition, men även rutnät efter gyllene snittet förekommer. I vilket fall som helst får man anpassa sig efter förhållandena, och i förekommande fall beskära i efterhand. I praktiken kan man svårligen få perfekta proportioner i sin komposition, men man kan komma nära, och det räcker.

Fokus vid aktionen

Grundregel nummer ett är att fokus ska finnas där de blå diagonalerna korsar varandra, särskilt om man har ett betydande djup i bilden. Fokus i porträttfoto är nästan undantagslöst ögonen, eller något av dem, men i bland även näsa och läppar, eller ansiktet i dess helhet om hela kroppen avbildas.

Boké. Fokus i ena ögat.

Grundregel nummer två avlöser den första regeln, och medger istället att fokus ligger i den röda spiralens slut, eller i de närliggande rektanglar som definieras av den. Man låser därvid objektet efter en tänkt spiral, som löper naturligt längs objektet.

Spiralfokus

Grundregel nummer tre är att fokus bör ligga i korsningen av de gula rasterlinjerna, om man har flera foki. Det man vill framhäva ska således korsas av de gula linjerna. I nakenfotografi vill man gärna ha fokus på både ansikte och enskilda kroppsdetaljer, som bröst, och ibland vill man framhäva enskilda kroppsdelar men ändå ha en koppling till ansiktet.

Flera foki

Ad lib kan man gärna nyttja rutnätet för mer fristående kompositioner, där man placerar fokuspunkten mellan objektet och dess eventuella handling. Man kan även placera fokus i rutorna, snarare än i skärningspunkterna, om man vill framhäva en viss symmetri. Vanligen placerar man inte objektet i centrum, utan drar mot hörnen, men har man flera fokuspunkter faller den regeln bort.

Fokus mellan objekt och handling