Ekvationen 2x³ – 3x² – 3x + 2 = 0 löser man numera vanligtvis genom att konsultera en miniräknare eller en dator, eller så ser man direkt att x = -1 och x = 2 är lösningar, varur den tredje roten x = ½ erhålls genom en smula algebraisk manipulation.
Problemet är i sig inte så intressant, utan om det uppstår i någon tillämpning är man mer intresserad av det numeriska resultatet. Det finns ingen som helst praktisk nytta av att kunna eller härleda lösningsformler för en tredjegradsekvation.
Men samma sak gäller för andragradsekvationen ax² + bx + c = 0, som så gott som alla någon gång har sett och löst i skolan. Att man ändå härleder formeln och övar i att nyttja den beror på att man vill demonstrera principer som kan nyttjas för den som önskar studera vidare på högre nivå. För övriga faller den nog i glömska.
Polynomekvationer har dock en idéhistorisk bakgrund av intresse, för det är med dem matematiken tar sina första stapplande steg under renässansen. Som bekant förstördes antikens lärdomstradition i grunden när kristendom etablerades som teokrati efter Roms fall, och inget av matematiskt eller vetenskapligt intresse emanerade från Europa efter kristenhetens mord på Hypatia 415 förrän Fibonacci 1202 etablerade hinduarabiska siffror och arabisk matematik från de då ledande kalifaten.
Algebra (الجبر eller al-jabr, återförening) är således en disciplin som uppstod under islams guldålder, och man tampades därvid med polynomekvationer. De praktiska motsvarigheterna till sådana ekvationer var kända sedan de första civilisationerna, och det är själva metoden med manipulation av variabler som är nymodigheten.
Fibonacci kunde under 1200-talet härleda numeriska lösningar för tredjegradsekvationer, men det skulle dröja ytterligare trehundra år innan algebraiska lösningar togs fram. Italienarna Scipione del Ferro och Niccolò Tartaglia tävlade om den intellektuella äran att ge en allmän lösning, och båda fann en metod att lösa den reducerade tredjegradsekvationen x³ + px + q = 0. Resultatet publicerades dock först av Gerolamo Cardano 1545 i verket Ars Magna.
Problemet för tidens matematiker var att lösningar till sådana ekvationer kan vara såväl negativa, ett begrepp som då inte var allmänt känt (det accepterades först under 1700-talet), som komplexa, en nymodighet som utvecklades just tack vare studiet av polynomekvationer. Cardano använde komplexa tal utan att förstå innebörden, och de fick en förklaring först 1572 av Rafael Bombelli.
Låt oss först studera andragradsekvationen ax² + bx + c = 0, som efter division med a fås på sin reducerade form x² + px + q = 0. Låt oss skriva detta som (x + h)² + k, vilket kan utvecklas som x² + 2hx + (h² + k), ur vilket följer att p = 2h och q = h² + k. Manipulation ger att (1) h = p/2 och (2) k = q – h² = q – p²/4.
Givet (x + h)² + k = 0 har vi att (x + h)² = -k och därmed x + h = ±√-k eller x = -h ±√-k. Substituera (1) och (2) ovan, och vi får x = -h ±√-k = -p/2 ±√[p²/4 – q], vilket är den allmänna lösningen. Vi ser att om q > p²/4 har vi komplexa lösningar.
Motsvarande tredjegradsekvation kan direkt skrivas på reducerad form x³ + ax² + bx + c = 0, men man kan genom variabelsubstitution trolla bort den kvadratiska termen. Vi vill alltså erhålla x³ + px + q = 0, och vi sätter x = u + v: (u + v)³ + p(u + v) + q = 0, vilket efter utveckling ger u³ + 3u²v + 3uv² + v³ + p(u + v) + q = u³ + 3uv(u + v) + v³ + p(u + v) + q = u³ + (3uv + p)(u + v) + v³ + q = 0.
Cardanos – eller snarare Tartaglias och del Ferros – metod är nu att kräva 3uv + p = 0, vilket ger u³ + v³ + q = 0. Då är (1) u³ + v³ = -q och uv = -p/3 eller (2) u³v³ = -p³/27, och efter manipulation v³ = -q – u³. Infoga detta i (2): u³v³ = u³(-q -u³) = -p³/27 eller (u³)² + qu³ – p³/27 = 0.
Detta är en andragradsekvation i u³, med lösningen u³ = -q/2 ± √[q²/4 + p³/27] enligt ovan. Substitution ger v³ = -q – u³ = -q/2 ∓ √[q²/4 + p³/27], det vill säga samma lösningsmängd, och u respektive v skiljer sig enbart i ± för andra termen. Vi får därför att x = u + v = ∛u³ + ∛v³ = ∛{-q/2 + √[q²/4 + p³/27]} + ∛{-q/2 – √[q²/4 + p³/27]}, vilket är en av de tre rötterna.
Härledningen är marginellt mer komplicerad än för andragradsekvationen, och borde vara en självklar ingredient i gymnasiets matematik, dels av idéhistoriska skäl, dels som en nyttig övning i algebra. Fast numera kanske man stannar vid en linjär förstagradsekvation i gymnasiet, och lämnar andragradsekvationen till teknisk högskola… vad vet jag.
Studiet leder småningom in på modern abstrakt algebra, som är av betydligt mer intresse. Fjärdegradsekvationen kan lösas med ungefär samma metod och aningen krångligare formler, men för femte och högre grad existerar ingen allmän lösning, vilket bevisades av Abel 1824 och småningom ledde fram till galoisteori – från banal algebra till notoriskt svår och abstrakt materia.
Det man kan notera här är den exponentiella tillväxten i utvecklingen. Från Fibonaccis senmedeltid 1202 till Cardanos renässans 1545 skiljer trehundra år av smärtsamt långsam utveckling, och det är närmast ofattbart att mänskligheten inte hade kommit längre för femhundra år sedan.
Å andra sidan är det lika ofattbart hur utvecklingen därefter har accelererat och gett upphov till vår tids massivt kunskapstäta samhälle. Det ger perspektiv på tillvaron att se tillbaka i den matematiska historien och uppleva hur svindlande snabbt förändringarna har skett.