Jiǔ zhāng suànshù (九章算術) är titeln på en matematikbok kompilerad i Kina från 900-talet före vår tid (Zhou) fram till det första århundradet (Han). De nio kapitlen behandlar generell problemlösning i ett antal fält som areaberäkning, bråkdelsräkning, kvadrat- och kubrotsdragning, volymberäkning av sfärer och solider, samt linjära ekvationssystem.
Nio kapitel om räknekonsten spänner knappa 250 frågor, svar och förklaringar, kompilerade av en rad anonyma antika matematiker. Något större utbyte med Grekland och övriga Västvärlden förelåg inte vid denna tid, varför den kinesiska matematiken har utvecklats självständigt och oberoende.
Det kunde här vara av intresse att betrakta ett par av dessa problem för att bekanta oss med den tidens matematik och bildning. Mandarin talades inte på den tiden, men det kan underlätta att ange modernt uttal parallellt med översättningen.
Först har vi problem nummer 12 i kapitel 8 方程 (fāngchéng), «kvadratisk procedur» eller ekvationer med en modern term. Det gäller här ett spann om sex hästar i tre varianter – en förlöpare eller militärhäst, två mellanhästar samt tre eftersläpare – som på slätt underlag forslar sten, sammanlagt 120 förmodat likvärdiga bumlingar eller 40 per variantgrupp.
Spannet ska nu ta sig upp för en brant, och ingen av hästarna förmår då dra den last man kan hantera på slätt underlag. Lasten måste omfördelas, nämligen enligt följande kriterier: förlöparen lånar lasten av en mellanhäst; de två mellanhästarna lånar av en eftersläpare; och de tre eftersläparna lånar av förlöparen. I original:
今有武馬一匹，中馬二匹，下馬三匹，皆載四十石至阪，皆不能上。武馬借中馬一匹，中馬借下馬一匹，下馬借武馬一匹，乃皆上。問武、中、下馬一匹各力引幾何？
Jīn yǒu wǔmǎ yī pǐ, zhōngmǎ èr pǐ, xiàmǎ sān pǐ, jiē zài sìshí shí zhì bǎn, jiē bù néng shàng. Wǔmǎ jiè zhōngmǎ yī pǐ, zhōngmǎ jiè xiàmǎ yī pǐ, xiàmǎ jiè wǔmǎ yī pǐ, nǎi jiē shàng. Wèn wǔ-, zhōng-, xiàmǎ yī pǐ gè lì yǐn jǐ hé?
Nu har vi en förlöpare, två mellanhästar, och tre eftersläpare, var och en lastad med fyrtio stenar mot en sluttning, men ingen av dem förmår klättra upp. Förlöparen lånar av en mellanhäst, mellanhästarna av en eftersläpare, och eftersläparna av förlöparen, och först då kan de klättra upp. Frågan lyder hur mycket var och en av förlöpare, mellanhästar och eftersläpare förmår dra?
Med modern notation kan vi uttrycka problemet med variabler. Vi benämner här förlöparen (wǔmǎ) med w, mellanhästen (zhōngmǎ) med z, samt eftersläparen (xiàmǎ) med x. I det plana läget har vi då att w’ + 2z’ + 3x’ = 120, där vi använder apostrof för att markera ursprungstillståndet.
I det sluttande läget har vi istället w + 2z + 3x = L < 120, där L betecknar den last hästarna tillsammans förmår dra upp för branten. Vi har då följande ekvationssystem enligt de givna premisserna, där vi noterar att talet 40 bestäms av den maximala last varje hästgrupp kan bära:
w + z = 40 (1)
2z + x = 40 (2)
3x + w = 40 (3)
Allmänna metoder för att hantera bestämda system av det här slaget uppstod i vår del av världen först med Newton under den vetenskapliga revolutionen under 1600-talet, och vi benämner förfarandet numera gausselimination, efter matematikern Gauss. Kineserna var således närmare två årtusenden före Europa i att hantera linjära ekvationssystem.
Substitution i ekvationerna (1) och (3) ger att w = 40 – z och w = 40 – 3x, det vill säga att 40 – z = 40 – 3x, eller z = 3x (4).
Ur ekvation (2) får vi på samma sätt att x = 40 – 2z. Multiplicera med 3, och vi erhåller 3x = 120 – 6z = z, enligt (4).
120 – 6z = z ger då att 7z = 120, eller z = 120/7 = 17 1/7. Genom substitution i (4) har vi vidare att x = 1/3 · z = 1/3 · 120/7 = 40/7 = 5 5/7. På samma sätt är w = 40 – z = 40 – 17 1/7 = 22 6/7. Systemets lösning är då:
w = 22 6/7
z = 17 1/7
x = 5 5/7
Lasten bestäms enligt L = w + 2z + 3x = 22 6/7 + 2 · 17 1/7 + 3 · 5 5/7 = 71 23/7 = 74 2/7, eller 74.29 stenar, motsvarande 62 % av den ursprungliga lasten. Resonemanget förutsätter att man kan dela stenarna. I annat fall får man naturligtvis heltalslösningen w = 22, z = 17 och x = 5.
答曰：武馬一匹力引二十二石、七分石之六，中馬一匹力引十七石、七分石之一，下馬一匹力引五石、七分石之五。
術曰：如方程各置所借，以正負術入之。
Dá yuē: wǔmǎ yī pǐ lì yǐn èrshí’èr shí, qī fēn shí zhī liù, zhōngmǎ yī pǐ lì yǐn shíqī shí, qī fēn shí zhī yī, xiàmǎ yī pǐ lì yǐn wǔ shí, qī fēn shí zhī wǔ.
Svar: förlöparen förmår dra 22 6/7 stenar, en mellanhäst 17 1/7 stenar, och en eftersläpare 5 5/7 stenar.
Betrakta nu problem 20 i kapitel 9 勾股 (gōugǔ). Begreppet 勾股弦 (gōugǔxián) betecknar här de tre sidorna i en rätvinklig triangel, där 弦 (xián) eller 斜边 (xiébiān, lutande sida) med en modern term betecknar hypotenusan, och 勾 (gōu) respektive 股 (gǔ) avser de två kateterna i stigande storleksordning.
Problemet gäller att bestämma storleken på sidan av en stad av kvadratisk form, där staden har stadsportar i varje sidas centrumpunkt. 20 steg ut från den norra utgången finns ett träd. Om man tar 14 steg ut från den södra utgången, och därefter 1775 steg i västlig riktning, så kan man se trädet vid den norra porten. Frågan är således hur stor stadens sida är:
今有邑方不知大小，各中開門。出北門二十步有木。出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木。問邑方幾何？
Jīn yǒu yì fāng bù zhī dàxiǎo, gè zhōng kāi mén. Chū běimén èrshí bù yǒu mù. Chū nánmén shísì bù, zhé ér xīxíng yīqiān qībǎi qīshíwǔ bù jiàn mù. Wèn yì fāng jǐ hé?
Nu har vi en stad av kvadratisk form vars storlek inte är känd, i varje mitt finns en port. Tjugo steg utanför den norra porten finns ett träd. Går man ut fjorton steg från den södra porten, och viker av mot väster i 1775 steg ser man trädet. Frågan lyder: hur stor är stadens sida?
I beaktande av figur har vi att förhållandet mellan sidorna AE och AC står i proportion till sidorna DE och BC, eller annorlunda uttryckt: AE/AC = DE/BC. Om sidan av staden betecknas x, har vi då att AE/AC = 20/(x + 20 +14), och DE/BC = ½ · x/1775, vilket ger 2 · 20 · 1775 = x · (x + 34) = x2 + 34x eller x2 + 34x – 71000 = 0. Detta är en andragradsekvation med den enda positiva lösningen x = -17 + √71289 = -17 + 267 = 250 steg.
答曰：二百五十步。
Dá yuē: èrbǎi wǔshí bù.
Svar: tvåhundrafemtio steg.
Nio kapitel om räknekonsten är ett av tio kanoniska matematikverk som ingick i repertoiren i det kejserliga examinationsprogrammet för lärde från Tang (600-tal) till Qing (1900-tal). Matematik i sin tur var en av de sex konsterna (六藝, liù yì), som utgjorde grunden för den klassiska kinesiska utbildningen. Problemen som har skissats här motsvarar idag ungefärligen gymnasiekompetens, men utgjorde i det historiska Kina närmast högskolenivå.