Kategori: Vetenskap

Kategorier
Matematik Vetenskap

Matematisk skönhet

Den tidiga människan som jagade och samlade i Afrikas skiftande terräng hade inga krävande behov av att kunna räkna. På sin höjd nyttjade man heltal i begränsad utsträckning för att hålla reda på fällda bytesdjur eller antal pärlor i ett halsband. I den mån man bedrev något slags primitiv handel i halvbofasta kustområden kunde man kanske även hantera aritmetiska operationer som addition och subtraktion.

Med bofastheten under jordbrukets början uppstår behov av att hålla lager och fördela. Av nödvändighet utvecklar man kognitiva modeller för tal, men de saknar abstraktion. När man i tidiga skrifter tecknar ned tio öl och tio bröd, är siffran tio inte gemensam, utan olika beroende på vilket föremål det gäller. Men ganska snart utvecklar man oberoende abstrakta modeller för kvantiteter, det vill säga tal.

De första talen i människans tjänst är de naturliga talen N = {1, 2, 3, …}, och de första operationerna är addition och subtraktion. Någon given bas finns inte, utan man använder oktala, decimala, duodecimala, vigesimala och sexagesimala system beroende av tillämpning. Det är en praktisk matematik som smörjer en begynnande industri och handel.

Med jordbruket sker även en stratifiering av samhället, och inte alla behöver kröka rygg på fältet. En intelligentisa växer fram för att administrera samhället, varav en del har möjlighet att fundera över naturen. En tidig astronomi formas och integreras i såväl jordbruket som i den framväxande organiserade religionen – man håller koll på himlakropparnas rörelser, och noterar dessa med siffror.

De första jordbrukarna bodde i underjordiska stenhus, vilka senare antog en mer ytlig dimension och sedermera gav upphov till allt större konstruktioner för gemensamt bruk, till exempel religiösa samlingssalar. Arkitekturen bortanför den fyrkantiga bostaden kräver planering och konstruktion, varvid de (positiva) rationella talen Q = {y/x : y, x ∈ N} avtäcks. Vill man bygga pyramider kommer bråktalen till sin rätt, och operationerna multiplikation respektive division tillkommer.

Nog kände man tidigt till underskott i bytesbalans, men någon mer formaliserad behandling av negativa tal förekom inte förrän i Kina runt år -100. På samma sätt förstod man visserligen begreppet ingenting, men i formell mening dyker talet noll inte upp förrän år 628, då indiska matematiker uppfinner notationen. Därmed har vi mängden av heltal Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} samt den fulla mängden av rationella tal Q = {y/x : y, x ∈ Z, x ≠ 0}.

Irrationella tal, det vill säga sådana tal som inte kan uttryckas på bråkform (till exempel √2), var kända i Indien vid -700 och något senare i antikens Grekland, men det skulle dröja ända till 1600-talet innan Descartes formellt definierade de reella talen R, det vill säga såväl rationella som irrationella tal, eller alla tal överhuvudtaget, som 0.1, π, e och -231. Åtminstone ansåg man i vetenskapens linda att detta var den fulla existensen av tal.

I det muslimska imperiet, som under medeltiden förvaltade det klassiska arvet efter Rom och Grekland, utvecklade man algebra och tampades därvid med tal som inte lät sig infogas i de gängse. Vill man lösa ekvationen x² + 1 = 0 har man som enda lösning x = ±√-1, ett tal som man inte förstod innebörden av.

Det gjorde man till att börja med inte heller i renässansens Europa, men småningom formaliserades de komplexa talen C = {x + iy: x, y ∈ R, i = √-1} under 1700-talet. Komplexa tal beskriver egentligen par av tal i två dimensioner, efter varsin axel. Den imaginära enheten i möjliggör att alla polynomekvationer alltid har en lösning i systemet C, och talmängden anses vara den naturliga i många tillämpningar av fysik.

Man kan här definiera de beskrivna talmängderna som delmängder av varandra, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, och de tidigaste nyttjade mängderna är således specialfall av de komplexa talen. Komplexa tal u, v, w ∈ C skiljer sig i övrigt inte från reella tal, utan har samma operationer (+, -, ·, ÷) och egenskaper. Speciellt har man distributivitet u(v + w) = uv + uw, associativitet (uv)w = u(vw) samt kommutativitet uv = vu, det vi brukar kalla normala räkneregler.

Men man kan gå vidare, vilket man gjorde 1843. Hyperkomplexa tal i form av kvaternioner H = {a + bi + cj + dk} kan då definieras i analogi med C, men nu med tre separata enheter i, j och k istället för en. Egenskaperna för dessa enheter (enhetsvektorer) är i² = j² = k² = ijk = -1, och i övrigt fungerar kvaternioner på samma sätt som komplexa tal, med undantag för kommutativitet: för tal u, v ∈ H gäller i allmänhet att u, v inte är kommutativa, uv ≠ vu. Vi har här förlorat en egenskap när vi har höjt oss till ett fyrdimensionellt rum, men i gengäld kan systemet beskriva speciell relativitetsteori på ett elegant sätt.

Om de rella talen R är en endimensionell representation med skalären 1 som enda enhetsvektor, utgör de komplexa talen C en tvådimensionell representation med enhetsvektorerna (1, i), och kvaternionerna H en fyrdimensionell representation med enhetsvektorerna (1, i, j, k). Det är alltså utvidgningar till högre dimension.

Ytterligare ett steg upp ges av oktonionerna O, med enhetsvektorer (1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇) i ett åttadimensionellt rum. Systemet fungerar som kvaternionerna, men med en mer komplicerad multiplikationstabell för enhetsvektorerna samt med förlorad associativitet: för u, v, w ∈ O gäller i allmänhet (uv)w ≠ u(vw).

Högre än så kommer vi inte, och systemen R, C, H och O är de enda existerande divisionsalgebror, det vill säga algebror i vilka de gängse operationerna (+, -, ·, ÷) kan tillämpas. Vi har här att R ⊂ C ⊂ H ⊂ O, det vill säga att enklare system är delmängder av mer komplexa. Har det någon fysikalisk innebörd, givet att såväl C som H kommit att nyttjas i fysiska tillämpningar?

Möjligen, men vi ger oss här ut på mark som inte är vältrampad och som i slutändan kanske bara är en form av avancerad numerologi utan särskild innebörd. Men det visar sig att oktonionerna O kan nyttjas för att beskriva partikelfysikens standardmodell (SM) med talteoretiska begrepp, och ut faller helt naturligt många av de egenskaper som är förknippade med elementarpartiklar.

Idén är inte ny, utan har funnits i marginalen sedan 1970-talet. På senare tid har kanadensiskan Cohl Furey uppmärksammats för en vidareutveckling som ger hela SM:s struktur som en konsekvens av stegoperatorer i ett särskilt preparerat 64-dimensionellt rum C⨂H⨂O. Härledningen ger inget nytt, men skönheten och elegansen i framställningen är så sexig att man inte bara kan avfärda den rakt av, till exempel att partiklar (kvarkar och leptoner) med antipartiklar i tre generationer med laddningar ±{0, ⅓, ⅓, ⅓, ⅔, ⅔, ⅔, 1} följer som kvantiserade egenvärden i modellen.

Det är en gammal uppfattning att de bästa fysikaliska modellerna är behäftade med matematisk skönhet, även om man inte kan leda i bevis att det finns något samband mellan estetik och naturens matematiska beskrivning; det är en empirisk erfarenhet. Partikelfysiken har istället satsat alla sina kort på att smälla partiklar i allt högre energier, men har inte rört sig en millimeter bortanför SM, som därför får antas vara i huvudsak komplett.

Gravitation, mörk materia och en del andra fenomen ryms för närvarande inte i modellen, men det kanske är så att dessa pusselbitar kan falla ut som resultat av en mer utvecklad framställning i C⨂H⨂O. Det vore i så fall inte första gången som matematik föregår experiment, utan det har i det närmaste varit regel (relativitetsteori, kvarkar är två exempel). Den här häftiga donnan kommer nog aldrig att få vidare cred för sina manipulationer, men jag tror att hon har rätt i essens, att en större sanning ligger förborgad i dessa högre algebraiska system.

Cohl Furey: Quarks and leptons as ideals of the Clifford algebra CL(6) (11/14)
Kategorier
Kultur Vetenskap

Perspektiv på tiden

Universum har existerat i 13.8 miljarder eller 13.8·10⁹ år. Vårt solsystem bildades för 4.6 miljarder eller 4.6·10⁹ år sedan, och har således funnits under exakt en tredjedel av universums existens. Primitivt liv uppstod tämligen fort medelst kemisk och senare biologisk evolution, medan avancerat liv radierades långt senare under den kambriska explosionen för 530 miljoner eller 530·10⁶ år sedan.

Avancerat liv på jorden har således funnits under 3.8 % av universums existens, eller 11.5 % av jordens. Primater radierades efter jätteödlornas tid för 65 miljoner eller 65·10⁶ år sedan, och har således funnits under cirka tio procent av det avancerade livets tid. Hominider har 13 miljoner eller 13·10⁶ år på nacken, medan släktet Homo räknar 2.1 miljoner eller 2.1·10⁶ år, motsvarande 0.04 % av jordens existens eller 0.015 % av universums.

Människan, Homo sapiens, tar sitt tidigaste ursprung för 300 000 eller 300·10³ år sedan, motsvarande 0.006 % av jordens existens, eller 0.002 % av universums. Om vi koncentrerar universum till motsvarande ett dygn med 86 400 sekunder, uppträder människan 1.8 sekunder före midnatt. Samma koncentration av jorden till ett dygn ger människan 5.6 sekunder före midnatt.

Vi har uppenbarligen varit här en kort tid, och har föregåtts av oräkneliga livsformer, som till 99.99 % har dött ut eller övergått i mer avancerade former. Holocen, den tid människan har varit bofast och odlat jorden, räknar 10 000 år, eller 3 % av artens existens, motsvarande 0.2 sekunder före midnatt. Pyramiderna i Giza byggdes 0.1 sekunder före midnatt. Hur får man in Klimat-Greta och Jesus i ett sådant perspektiv?

Det får man inte. Som den skojiga videon nedan visar är människan blott en bråkdel av ett ögonblick i universums och jordens utveckling, och hon är dömd att gå under som alla före henne. Det kanske är så att människan utgör ett nytt steg i evolutionen, med förmåga att dominera livet och ta kontroll över sin egen utveckling för en betydligt längre tid. Men i så fall måste människan kunna hantera förändringar i klimat och geologi, för att inte tala om astronomiska händelser som metoriter och kanske även närbelägna supernovor, likväl som nya mikrober som kan förändra atmosfären eller invadera människokroppen med nya epidemier.

I det obscent korta mänskliga perspektivet oroar man sig nu för lite vågskvalp då kryosfären fortsätter att dra sig tillbaka, som den ju har gjort under de senaste tjugo tusen åren. I något längre perspektiv har man istället att oroa sig för nästa nedisningsfas, och i än längre geologiska effekter på klimatet när kontinentalplattorna dansar vidare. Människan måste inse att jorden alltid har skiftat och alltid kommer att skifta karaktär, att jorden aldrig har stått stilla, att vår förnimmelse av en stabil värld är en illusion.

Nå, vi kanske tror att vi är ett ungt och intelligent släkte i en mycket gammal värld. Förr i tiden ville man bestämma världens ålder till sex tusen år, vilket för de flesta av oss är riktigt gammalt. Fjorton miljarder år är i det perspektivet helt ofattbart för människor, det är för många nollor.

Det roliga är att universum ännu inte ens är fött, sett i det omvända perspektivet av universums totala livslängd. Här rör det sig inte om bråkdelar av en procent, utan om nittio nollor innan man kan se skymten av någon annan siffra. Omräknat till ett dygn har universum inte ens börjat existera i mätbar tid, vilket framgår av nästa skojiga video nedan om utvecklingen av universum till dess slut efter tusen biljoner biljoner biljoner biljoner biljoner biljoner biljoner biljoner eller 1000·(10¹²)⁸ = 10⁹⁹ år – universum dör värmdedöden efter en googol år, och tid blir ett meningslöst koncept. Astrid Lindgrens Pomperipossa hade sagt att så många nollor inte finns.

Den enda slutsats man kan dra av detta är: carpe diem, ty du och jag kommer att dö, arten Homo sapiens kommer att dö ut, släktet Homo kommer att dö ut, livet på jorden kommer att dö ut, jorden själv kommer att slukas av solen när den blir en röd jätte, och solen i sin tur kommer att leva den absoluta merparten av sin tid som en kallnande vit dvärg, innan den småningom blir en kall mörk dvärg i väntan på att dess degenererade materia ska disintegreras för gott, i likhet med övriga universum.

Kategorier
Vetenskap

Perspektiv på människan

Några inlägg om vårt ursprung har här förekommit, av den enkla anledningen att det är något som fascinerar mig, men också för att det har relevans för samtida debatter om arv och miljö. Den politiskt korrekta åsikten är att vi alla är likadana, och att varje människa är ett oskrivet blad som kan fyllas med godtyckligt innehåll givet den perfekta miljön. Att skillnader i egenskaper, förutom ytliga drag som hudfärg, skulle förekomma förkastas helt, och man anses till och med kunna «välja» hårdkodade egenskaper som sexualitet.

Vetenskapen är emellertid på kollisionskurs med denna uppfattning, och man kan i detalj visa hur människan har utvecklats i förgrening, med blandning med andra arter ur släktet Homo (neandertal, altai) samt vidare blandning respektive befolkningsersättning i förekommande fall. Exempelvis västeuropéer är en blandning av tre stabila populationer i västliga jägare–samlare (WHG), anatoliska jordbrukare (EEF) och beridet stäppfolk från Kaukasus (ANE), där de senare är upphovet till inte bara DNA utan även de indoeuropeiska språk som talas i Europa, Persien och Indien.

Arvet från neandertal och denisova har demonstrerats med hårda genetiska data av bland andra Svante Pääbo, medan den europeiska genetiska knytningen till anatoliska jordbrukare och jamnakulturens stäppfolk har visats av David Reich. Dessa är två av de mest framstående forskarna i samtiden, och de har en spännande historia att berätta om vårt ursprung. Det indoeuropeiska arvet har visserligen varit känt länge genom arkeologi och lingvistik, men DNA-analys raffinerar förloppet i avsevärt mer detalj.

David Reich, professor i genetik vid Harvard, föreläser om förhistorisk migration i Europa
Kategorier
Politik Vetenskap

Perspektiv på klimatet

Avancerat liv på jorden har existerat i en halv miljard år sedan den kambriska radieringen. Under den perioden har temperatur och koldioxidnivåer varierat kraftigt, och få är medvetna om att den tid vi lever i är den kallaste under den epoken, att vi lever i en istid sedan trettiofem miljoner år tillbaka, och att istider är anomalier i jordens historia.

Varför lever vi i en istid nu? På grund av den alpina orogenesen som påbörjades för sextiofem miljoner år sedan, då den afrikanska kontinentalplattan började skjuta in i den eurasiska och bildade Alperna. I synnerhet påverkades klimatet när den indoaustraliska plattan kolliderade med den eurasiska för femtio miljoner år sedan och bildade Himalaya. Den mängd kiselbaserad sten som frigörs vid bergsbildningen suger upp koldioxid ur atmosfären, och temperaturen sjunker som en följd. Koldioxidhalten under krita var 1700 ppm, mot dagens 400, för att sätta detta i perspektiv.

En istid definieras av att det finns en kryosfär, det vill säga en beständig is. Sådan har vi för närvarande bara vid polerna, men utbredning och tillbakabildning av is över betydligt större landområden sker periodiskt, huvudsakligen till följd av variationer i jordens lutning och rotation. Den senaste maximala utbredningen ägde rum vid -16 ka, då halva Eurasien befann sig under ett kilometertjockt istäcke, det man i folkmun menar med istiden.

Sedan dess befinner vi oss i en interglacial, en «varm» period i den geologiskt kalla epoken. Isen har dragit sig tillbaka och glaciärerna har smält. Man jagar inte längre ren i Frankrike, utan den verksamheten har förflyttats till Norrland. Men eftersom det rör sig om ett periodiskt fenomen (milankovićcykler om 100 ka) kommer en ny utbredning av is att ske, och stora delar av Eurasien och Nordamerika kommer åter att täckas av is.

Den processen skulle egentligen redan ha påbörjats, men människan kom emellan. Först med jordbruk från -9 ka, då skogar brändes ned och frigjorde koldioxid, sedan med boskap, då metan bidrog till att begränsa nedkylningen. Det har ändå funnits en nedkylning, om än inte så kraftig som den borde ha varit. Till slut skulle variationer i lutning och rotation övervinna människans påverkan och nedisningen påbörjas och accelereras.

Då sker industrialisering som en turboeffekt, då människan skyfflar ut koldioxid genom förbränning av förmultnad växtlighet i form av kol och olja. Den verksamheten inte bara kompenserar för nedkylningen, utan reverserar den. Det är där vi befinner oss i dag, med fortsatt tillbakadragning av isen och smältning av glaciärer. Jorden värms upp antropogent, vilket många menar är ett problem.

Det är naturligtvis ett problem vid kustområden, eftersom havsnivån kommer att stiga. Om all is skulle smälta rör det sig om riktigt stora nivåhöjningar, men så långt går det aldrig. Inte ens om vi fortsätter som i dag kommer vi att kunna hindra den kommande nedkylningen och nedisningen, utan jorden kommer obönhörligen att åter bli en snöboll. Vi har än så länge bara förskjutit förloppet.

Det är egentligen bara ren skär tur att vi överhuvudtaget är i stånd att diskutera dessa frågor. Människan råkade utveckla jordbruk och bofasthet vid -10 ka, efter att ha strosat omkring som jägare–samlare i 300 000 år dessförinnan, och kunde därför – helt omedvetet – påverka klimatet att förbli relativt varmt. Utan denna mänskliga påverkan hade vi idag redan sett effekter av nedisning, och vi hade under loppet av några tusen år varit tvungna att migrera söderut, helt hjälplösa mot naturens skiftningar.

Människan har svårt för större tidsrymder, och är i mycket fångna i det förhandenvarande ögonblicket. Man har tagit för givet ett stabilt klimat, trots att det i geologisk tid inte existerar något sådant. Man känner oro och till och med «ångest» över mycket måttliga förändringar, och inbillar sig att jorden ska bli något slags Venus eller rent av «brinna upp». Det kan alltså inte hända, utan det värsta som kan ske är översvämmade kustområden och mer «dramtiskt väder» – men samtidigt en mer produktiv jord.

Det perspektiv jag önskar att alla kunde förnimma är att den omvända processen, med en ny nedisning, hade varit så oerhört mycket mer förödande för mänskligheten, och att en sådan förr eller senare kommer, även om det inte direkt angår dagens generationer. Det är därför bra att vi nu börjar lära oss hur vi kan kontrollera och bemästra atmosfären, och det ligger i vårt kortsiktiga intresse att förhindra mer dramatiska vattenflöden att störa mänsklig aktivitet. En dag kommer vi nämligen att behöva den geologiska klimatingenjörskonsten för att hantera det motsatta problemet.

Däremot är det helt kontraproduktivt att piska upp apokalyptiska stämningar och varna för «jordens undergång», och att föra fram en sjuk personkult kring ett skolkande bokstavsbarn som Klimat-Greta är inte ämnat att lösa några som helst problem. Folk behöver bilda sig med andra och mer vetenskapliga källor än kommersiellt drivna och illa pålästa journalister för att få en mer vederhäftig uppfattning om klimat.

Daniel Britt, professor i astronomi och planetvetenskap vid University of Central Florida, ger ett geologiskt perspektiv på klimatet.
Kategorier
Europa Kultur Vetenskap

Hjul, häst och androcid

Betraktar man västeuropéers DNA kan man härleda ursprung från tre populationer. Dels västliga samlare–jägare (WHG), väsentligen renjägare sprungna ur istidstillflykten under magdalenien och tidigare kulturer, ett homogent folk som utkristalliserades mellan -43 ka och -12 ka. Dels anatoliska jordbrukare som mer eller mindre ersatte stora delar av jägarpopulationen från -7000 och framåt. Och dels indoeuropéer från Kaspiska stäppen i nuvarande Ukraïna, pastorala nomadiska krigare som kom med häst och vagn och utrotade stora delar av det västeuropeiska manliga släktet från -3000.

Den anatoliska expansionen var jämlik och fredlig, med familjer som drog norrut i jakt på nya marker. Men resultatet blev ändå befolkningsersättning på den manliga sidan, då jordbrukarna kunde försörja tio gånger fler än jägarna och därmed även fick högre status bland lokala kvinnor. Jägarna hade i längden inte kunnat försvara sig mot en sådan numerär, och scenariot minner om hur amerikaner trängde undan indianer under den västliga expansionen.

Det var en teknisk, kulturell och socioekonomisk erövring av Västeuropa. De blåögda istidsmännen nära nog utraderades under loppet av några tusen år, och istidens arv bevarades främst av kvinnor och i fickor i mindre jordbruksvänliga trakter som Norden. Mycket riktigt kan man spåra mest DNA från WHG bland skandinaver, med minskande andel längre söderut. Omvänt finner man nästan rent anatoliskt DNA bland Sardiniens isolerade befolkning. Det är en syd-nordlig gradient som är helt förväntad.

Kulturen Jamna (ofta benämnd Yamnaya på engelska) utgjorde en gränsyta mot Anatolien vid Svarta havet, och påverkades inte av den anatoliska expansionen. Istället för jordbruk bedrev man boskapsuppfödning, och man blev därmed väl förtrogna med djuren och utvecklade den laktospersistens som västeuropéer i dag präglas av. Man tämjde hästen och om inte uppfann så i vart fall tillämpade hjulet för hästdragen transport.

Det skulle visa sig att denna tekniska och kulturella komponent än en gång transformerade Europa, och den blev sedermera dominerande i tidens stormakters militära kampanjer fram till kavalleriets intåg. Jamna spred sig både västerut mot Centraleuropa och sydöst mot Indien och Persien, och i båda fallen transformerade man såväl gener som kultur. Det indoeuropeiska språk man talade kom att bli dominerande i de trakter man erövrade, och tog sig småningom uttryck i olika distinkta varianter.

Detta var inte en lika fredlig expansion, och inte heller lika jämlik. Bara var tionde migrant var kvinna, och kulturen var starkt hierarkisk till skillnad från de mer egalitära samhällen som WHG och anatoliskt jordbruk uppvisade. Detta var beridna män med vapen av brons, tränade i snabb och effektiv krigföring mot vilken jordbrukare inte kunde försvara sig. Det bör inte uppfattas som en medveten militär invasionskampanj av modernt snitt, utan snarare en migration i jakt på nya marker där man vid behov slaktade och tog i beslag det som kom i vägen.

Överallt i Europa finner man spår av indoeuropéernas framfart, senast i Spanien, vars manliga befolkning utraderades fullständigt. Den iberiska ursprungspopulationens arvsmassa hade femhundra år efter den initiala kontakten ersatts till 40 % med indoeuropeisk, men till 100 % på den manliga sidan. Detta var en patrilinjär kultur som dödade männen och tog de lokala kvinnorna i ett fullskaligt androcid.

Även för indoeuropeiskt DNA finner man en geografisk gradient, med störst arv i Nordeuropa och Skandinavien, som också präglas av mest laktospersistens, och minst på Sardinien. Skandinaver stammar mest av alla från dessa indoeuropeiska krigare, men även mest av alla från WHG. Det är ett tilltalande arv.

Förloppet visar att människan har genocidet i sig och står beredd att såväl försvara sin etniska grupp och kultur som att expandera gränslöst om möjligheten uppenbarar sig, exempelvis med överlägsen teknik. Det är det historien visar gång efter annan, även om det i modern tid är osannolikt att något liknande skulle kunna inträffa i samma skala.

En smula indoeuropeisk etymologi får avsluta denna betraktelse. Vem som egentligen uppfann hjulet är inte klarlagt, och det fanns hjulkonstruktioner av annat slag som föregick indoeuropéernas. Men de senare utvecklade tekniken så till den grad att deras benämningar emellanåt kom att spridas även utanför indoeuropeiska språk.

*kʷékʷlos (hjul, cirkel) är det rekonstruerade urindoeuropeiska ordet för hjul, som sedermera genom ljudtransformationer har avletts i urgermanska *hwehwlą och dess ättlingar wheel, hjul och wiel. På antik grekiska skrev man κῠ́κλος (kúklos), som har gett upphov till latinets cyclus och senare avledningar. Urindoiranska *čakrám har på samma sätt gett upphov till hindis चक्र (cakra) och persiska چرخ‎ (čarx).

*ḱr̥sós (fordon) i urindoeuropeiskan har lett till ord som carrus, carro, chariot, cart, kärra och car, det vill säga en vagn. Även det kinesiska tecknet 車 (chē) stammar från denna urindoeuropeiska bas, och tecknet visar två hjul med en axel. Men också ord som horse och russ, det vill säga häst, är avlett från *ḱr̥sós.

*h₁éḱwos är ett egentligt indoeuropeiskt ord för häst, och härav följer italiskans *ekwos, latinets equus och senare avledningar. De svenska orden häst respektive hingst har en annan härledning från urgermanskans *hangistaz via urindoeuropeiskans *ḱanḱest-. Det är inte ägnat förvåna att det fanns flera ord för häst i en sådan kultur.